改變計價對歐洲掉期期權的定價
在歐洲互換期權的定價中，通常使用年金因子 $ A(t) $ 作為 Numeraire。我試圖通過銀行賬戶記下定價公式作為 numeraire，看看它們是否相等。讓 $ C(t) $ 成為當時的價格 $ t $ 具有執行利率的歐式掉期 $ s_K $ 和掉期利率 $ s_T $ 在成熟時盛行 $ T $ 那麼價格可以通過馬丁格爾定價來確定：
(1) 銀行賬戶計價方式： $ P(0,T) $ 在風險中性測度下 $ \mathbb{Q} $ :
$$ \begin{align} C(0) &= P(0,T) \mathbb{E}{\mathbb{Q}}\left[\frac{A(T)\max{s_T-s_K,0}}{P(T,T)}\right] \ &=P(0,T)A(T)\mathbb{E}{\mathbb{Q}}[\max{s_T-s_K,0}] \ &=A(0)\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[\max{s_T-s_K,0}] \end{align} $$ 假設掉期利率 $ s_T $ 遵循一個對數正態過程，然後上面的表達式基本上歸結為評估一個呼叫 $ s_K $ 在風險中性措施下。 (2) 年金計價方式： $ A(t) $ 根據遠期掉期措施 $ \mathbb{A} $ :
$$ \begin{align} C(0) &= A(0) \mathbb{E}{\mathbb{A}}\left[\frac{A(T)\max{s_T-s_K,0}}{A(T)}\right] \ &=A(0)\mathbb{E}{\mathbb{A}}[\max{s_T-s_K,0}] \end{align} $$ 以上是正確的嗎？我更習慣於在風險中性措施下進行估值，所以我的問題是，在風險中性措施或遠期掉期措施下進行預期似乎應該得到相同的結果。為什麼會這樣？有什麼方法可以使用 Girsanov 定理來證明這一點？
您的 (1) 不正確，因為年金 $ A(T) $ 是隨機的（取決於到期時的貼現率），因此不能超出預期 $ E_Q[] $ . 這就是為什麼人們採用年金衡量標准定價的原因。