有障礙的二元現金或無現金期權的公允價值
我想找到一個支付 1 美元的歐式現金或無現金期權的公允價值，如果 $ S_t>K $ 和 $ S $ 突破水平 $ M<0<K $ ， 在哪裡 $ S $ 是風險中性過程 $ dS_t=\sigma dW_t $ .
我的想法是定義第一次通過時間 $ \tau $ 調平 $ M $ （因為無論如何都必須滿足其他條件才能獲得$ 1 $ T $ ) $ (\tau=\min{t;S_t=M}) $ 並利用布朗運動的反射原理來確定機率密度 $ \tau $ .
整合 SDE 的兩邊，我們找到了解決方案 $ S_t=S_0+\sigma W_t $ . 然後，我們在積分中應用反射原理和變數的變化 $ \nu=w/\sqrt{t} \Rightarrow d\nu=dw/ \sqrt{t} $ :
$$ \begin{align*} \mathbb{P}(\tau\leq t)&=\mathbb{P}(\tau\leq t,S_t\geq M)+\mathbb{P}(\tau\leq t,S_t\leq M) \ & = 2\mathbb{P}(\tau\leq t,S_t\geq M) \ &=2\mathbb{P}(S_t\geq M) \ & = 2\int_{M}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-w^2/2t}dw \ & = 2\int_{M/\sqrt{t}}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\nu^2/2}d\nu \ & = 2-2\Phi\left(\frac{M}{\sqrt{t}}\right) \end{align*} $$
標準無現金期權的公允價值為 $ \mathbb{E}^\mathbb{Q}[\mathbb{I}_{{S_t>K}}] $ . 在這種情況下，我認為我們需要將其乘以 $ \mathbb{P}(\tau\leq t) $ ，即有障礙的無現金期權的價格為：
$$ \mathbb{E}^\mathbb{Q}[\mathbb{I}_{{S_t>K}}]\times\mathbb{P}(\tau\leq t) $$ 你認為這是正確的嗎？
正如 Daneel 在他的評論中提到的，你不能簡單地將你對產品的期望分成兩個期望的乘積，因為這兩個數量遠非獨立……
現在，要回答您的問題，即如何計算在遇到障礙時進入資金的聯合事件的期望，您使用反射原理是正確的。但我會說你不夠雄心勃勃：p
從這個問題來看，你的障礙似乎是一個向下的障礙。
嘗試使用反射原理確定聯合律 $ (S_t, \min_{s \leq t} S_s) $ . 查看您在問題中所做的推導，這對您來說應該很容易。
完成後，您可以簡單地表達您想要的數量，即：$$ \mathbb{Q}\left( S_t>K, \min_{s \leq t} S_s < M \right) $$