不完全市場中的多重風險中性措施
這個問題是關於存在多種風險中性措施的不完全市場。我對這個想法有點困惑。假設我們有一個只有一個隨機過程的不完全市場 $ X_t $ 和
$$ \mathrm{d}X_t = \mu(t, X_t)\mathrm{d}t + σ(t, X_t)\mathrm{d}W_t $$
現在假設這個市場有兩個風險中性指標（ $ \mathbb P_1 $ 和 $ \mathbb P_2 $ ）。我能找到另一個這樣的措施嗎？這兩種措施之間有什麼關係？
- 資產定價的第一個基本定理（基本上）當且僅當存在至少一個等價鞅測度（EMM）時，市場是無套利的
- 資產定價的第二個基本定理（基本上）指出，如果市場沒有套利且完全，則等價鞅測度是唯一的。
如果可交易資產的數量至少與風險來源一樣多，則市場是完整的（基本上）。在離散環境中，您需要的交易資產數量至少與自然狀態的線性無關。
假設您有一隻股票，但有兩個（或更多）風險來源（例如隨機波動、跳躍、利率等）。假設市場沒有套利。那麼至少存在一個EMM。但因為市場是完整的，它並不是獨一無二的。因此，存在無限多個 EMM。
只有三種可能
- 不存在EMM（如果存在套利策略）
- 存在一個 EMM（如果市場沒有套利且完整）
- 存在無限多 EMM（如果市場沒有套利但不完整）
這真的很容易看到。如果 $ \mathbb P_1 $ 和 $ \mathbb P_2 $ 是 EMM，那麼也是 $ \mathbb P_\lambda=\lambda\mathbb P_1+(1-\lambda)\mathbb P_2 $ 對於任何 $ \lambda\in[0,1] $ . 因此，不可能只有 2 個或 42 個 EMM。
實際上，市場可能（幾乎）沒有套利，但不完整。因此，不存在單一的鞅測度，而是存在一系列可能的機率測度，這些測度會產生無限多的衍生品無套利價格。因此，您可以獲得可以交易衍生品的可接受價格區間。為了找出一個衡量標準，您必須做出進一步的假設（推導一般均衡模型，忽略一些風險因素等）。或者，有大量關於在不完整市場中對沖的文獻。
證明 $ \mathbb P_\lambda $ 是等效鞅測度 (EMM)。讓 $ \mathbb P_1 $ 和 $ \mathbb P_2 $ 是兩個 EMM 和 $ \lambda\in[0,1] $ .
- 可測集上的機率測度集是凸的。因此， $ \mathbb P_\lambda $ 是一種機率測度。明顯地， $ \mathbb P_\lambda[\Omega]=1 $ .
- 再一次，測度論給了我們$$ \int f\mathrm{d}\mathbb P_\lambda = \lambda\int f\mathrm{d}\mathbb P_1 + (1-\lambda)\int f\mathrm{d}\mathbb P_2 $$或者，使用期望來表示積分，$$ \mathbb{E}^{\mathbb{P}_\lambda} =\lambda\mathbb{E}^{\mathbb{P}_1} +(1-\lambda)\mathbb{E}^{\mathbb{P}_2} $$這當然假設 $ f $ 和 $ X $ 是可積的，同樣適用於條件期望。
- 現在，我們需要證明貼現的資產價格是 $ \mathbb{P}_\lambda $ 鞅。假設我們有 $ d $ 風險資產， $ S_t^{(d)} $ 和一個計價器， $ B_t $ . 根據定義， $ \frac{S_t^{(d)}}{B_t} $ 是關於的鞅 $ \mathbb{P}_1 $ 和 $ \mathbb{P}2 $ （因為它們是 EMM）。讓 $ t\geq s $ . 然後， $$ \begin{align*} \mathbb{E}^{\mathbb{P}\lambda}\left[\frac{S_t^{(d)}}{B_t}\Bigg|\mathcal{F}_s\right] &= \lambda \mathbb{E}^{\mathbb{P}_1}\left[\frac{S_t^{(d)}}{B_t}\Bigg|\mathcal{F}_s\right] + (1-\lambda) \mathbb{E}^{\mathbb{P}2}\left[\frac{S_t^{(d)}}{B_t}\Bigg|\mathcal{F}s\right] \ &= \lambda \frac{S_s^{(d)}}{B_s} + (1-\lambda) \frac{S_s^{(d)}}{B_s} \ &= \frac{S_s^{(d)}}{B_s}. \end{align*} $$ 因此，貼現的資產價格是關於以下方面的鞅 $ \mathbb{P}\lambda $ 因此， $ \mathbb{P}\lambda $ 是另一個 EMM。