吉薩諾夫定理從風險中性轉向股票計價
總結：長話短說，問題是問什麼類型的功能 $ f(.) $ ，Cameron-Martin-Girsanov 定理可以如下使用：
$$ \mathbb{E}^{\mathbb{P}^2}[f(W_t)]=\mathbb{E}^{\mathbb{P}^1}\left[\frac{d\mathbb{P}^2}{d\mathbb{P}^1}f(W_t)\right] $$
長話短說：從風險中性指標更改為庫存指標時的 Radon-Nikodym 是：
$$ \frac{dN^{S}}{dN^{Q}}=\frac{N^{Q}{t_0}}{N^{Q}{t}} \frac{N^{S}{t}}{N^{S}{t_0}}=\frac{1}{e^{rt}}\frac{S_t}{S_{t_0}}=e^{-0.5\sigma^2t+\sigma W_t} $$
以下類型的計算在金融中經常出現：
$$ \mathbb{E}^{N^S}\left[S_t \right]=\mathbb{E}^{N^Q}\left[S_t^Q \frac{dN^{S}}{dN^{Q}} \right]=\=\mathbb{E}[S_t^Q*e^{-0.5\sigma^2t+\sigma W_t}]=\=S_0e^{rt-0.5\sigma^2t+\sigma W_t}*e^{-0.5\sigma^2t+\sigma W_t}=\=S_0e^{rt+\sigma^2t} $$
CMG 定理告訴我們，Radon-Nikodym 導數 $ e^{-0.5\sigma^2t+\sigma W_t} $ 可以應用於 $ W_t $ 直接修改它的漂移並創建一些新的措施 $ W_t $ 將不再是標準布朗運動。如果我們遠離金融並表示 $ W_t $ 是標準的布朗 $ \mathbb{P}^1 $ , 新的衡量標準 $ W_t $ 是一個帶有漂移的布朗運算元 $ \mathbb{P}^2 $ , 氡-nikodym 為 $ \frac{d\mathbb{P}^2}{d\mathbb{P}^1} $ ，我們可以寫：
$$ \mathbb{P}^2(W_t<a):=\mathbb{E}^{\mathbb{P}^1}\left[\frac{d\mathbb{P}^2}{d\mathbb{P}^1} * I_{{W_t<a}} \right] =\mathbb{E}^{\mathbb{P}^1}\left[e^{-0.5\sigma^2t+\sigma W_t} * I_{{W_t<a}} \right] $$
以上基本上是定義 $ \mathbb{P^2} $ 通過 Radon-Nikodym 導數的隱含定義。上述定義的擴展是：
$$ \mathbb{E}^{\mathbb{P}^2}[W_t]=\mathbb{E}^{\mathbb{P}^1}\left[\frac{d\mathbb{P}^2}{d\mathbb{P}^1}W_t\right] $$
問題：在我們的股票金融案例中，股票價格過程實際上是 $ W_t $ ，所以我們可以寫 $ S_t=f(W_t) $ . 在等式中 $ \mathbb{E}^{N^S}\left[S_t \right]=\mathbb{E}^{N^Q}\left[S_t^Q \frac{dN^{S}}{dN^{Q}} \right] $ ，我們實際上使用的事實是：
$$ \mathbb{E}^{\mathbb{P}^2}[f(W_t)]=\mathbb{E}^{\mathbb{P}^1}\left[\frac{d\mathbb{P}^2}{d\mathbb{P}^1}f(W_t)\right] $$
有沒有一種簡單的方法可以證明我們可以做到這一點？顯然，它確實像上面的股票價格過程中所示的那樣工作，因為它產生了正確的結果。但是為了什麼 $ f(.) $ 結果成立嗎？我確信對函式的類型必須有一些限制 $ f(.) $ 結果成立。
（我可能不會回答你的問題，但我覺得需要澄清一下。）
隨機變數 $ X $ 的 $ (\Omega, \mathcal{F}) $ 是一個 $ \mathcal{F} $ - 可測量函式 $ X : \Omega → \mathbf{R} $ . 所以， $ X $ 取決於 $ \Omega $ 和 $ \mathcal{F} $ ，但不依賴於機率測度 $ (\Omega, \mathcal{F}) $ . 這是分佈 $ X $ 這取決於措施。
給定 $ P1 $ 和 $ P_2 $ 機率測度 $ (\Omega, \mathcal{F}) $ ， 在哪裡 $ P_2 $ 是 $ P_1 $ - 絕對連續 $ \mathcal{F} $ 和 $$ L = \frac{dP_2}{dP_1} $$ 是 Radon-Nicodym 導數 ( $ \mathcal{F} $ - 可測量的， $ \mathcal{P_1} $ -可積），我們有： $$ X\in L^1(\Omega, P_2) \iff XL\in L^1(\Omega, P_1). $$ 在這種情況下，我們有： $$ \mathbf{E}^{P_2}[X] = \mathbf{E}^{P_1}[XL] $$
或其整體形式：
$$ \int_\Omega X dP_2 = \int_\Omega X \frac{dP_2}{dP_1} dP_1 $$
（注意這裡不需要引入符號 $ X^{P_2} $ 與競爭 $ X $ .)
對於您的問題：
$$ \mathbf{E}^{P_2}[f(W_t)] = \mathbf{E}^{P_2}[f(W_t^\theta -\int_0^t \theta_u du)] $$
如果 $ P_2 $ 是由過程建構的 Girsanov 度量 $ \theta $ 和 $ W_t^\theta = W_t +\int_0^t \theta_u du $ 是下的誘導布朗運動 $ P_2 $ ( $ W_t $ 是下的布朗運動 $ P_1 $ ）。可以計算下的期望 $ P_2 $ . 或返回 $ P_1 $ 如你所說：
$$ \mathbf{E}^{P_2}[f(W_t)] = \mathbf{E}^{P_1}\left[f(W_t)\frac{dP_2}{dP_1} \right]. $$
在你的情況下 $ \theta_t = \sigma $ 和
$$ \frac{dP_2}{dP_1} =\exp\left(-\frac{\sigma^2}{2} t + \sigma W_t \right). $$