等效鞅測度下的Poisson過程
我有一個隨機過程 $ N(t) $ 這等於 $ n $ 有機率
$ P{N(t) = n}=\frac{\left(\lambda t \right)^{n}}{n!}e^{-\lambda t } $
在哪裡 $ t $ 表示時間段。換句話說，對於一個固定的對應過程 $ t $ , 是一個隨機變數 $ N(t) \equiv N $ 這是具有以下Poisson分佈的（齊次）Poisson（點）過程：
$ P{N = n}=\frac{\lambda^{n}}{n!}e^{-\lambda} $
$ P $ 是關於樣本空間定義的機率測度 $ \Omega $ . 連同 sigma 代數 $ A $ ，這三個元素定義了我的機率空間。
現在我介紹等效鞅測度（EMM） $ Q $ , 相當於 $ P $ 並擁有以下財產 $ Q $ 每個過程都變成鞅。更清楚地說，這是 Black-Scholes 定價類型的典型設置。例如，具有以下流程的股票 $ P $ 被定義為
$ dS_t=S_t\mu+S_t\sigma dW_t $
在哪裡 $ W_t $ 是一個維納過程，有一個由所謂的“無風險利率”給出的漂移 $ r_f $ 在下面 $ Q $ 也改成對應的維納過程下 $ Q $ ， IE $ W^{Q}_t $
$ dS_t=S_t r_f+S_t\sigma dW^{Q}_t $
措施的改變需要 $ W^{Q}_t=W_t+((\mu-r_f) / \sigma)t $
我的問題：像上面介紹的Poisson過程是否會受到度量變化的影響？我的猜測是，因為它只取決於某個參數 $ \lambda $ 這是一個計數過程，但事實並非如此，但我想听聽進一步的意見。任何建議都被很好地接受和採納
考慮氡 nikodym 導數，即隨機變數： $ Z(w)= 1_{N(T,w)=1}+1-Pr(N(T)=1) $ . 它是可以接受的，因為它總是正的並且有一個期望 1。這將導致我們形成一個等價的測度，我將其表示為 $ ’ $ .
我們從簡單的定理開始 $ E’(X)=E(XZ) $ 對於任何隨機變數 X 和 RND $ Z $
$ E’(1_{N(T)=1})=E(1_{N(T)=1}*(1_{N(T)=1}+1-Pr(N(T)=1))) $
因此，
$ Pr’(N(T)=1)=2Pr(N(T)=1)-[Pr(N(T)=1)]^2 > Pr(N(T)=1) $
另請注意
$ Pr’(N(T)=2)=Pr(N(T)=2)[1-Pr(N(T)=1)] < Pr[N(T)=2] $
所以新的測量方法提供了更多的機率質量 $ 1 $ ，同時將其從所有其他點（如 $ 2 $ ，如上圖所示）。這不再是Poisson過程，您可以通過一些代數來驗證。
評論：我把你的問題誤認為是為Poisson過程尋找 EMM，這確實很難。但是確定它對等效度量的變化很敏感並不難。幾乎所有非退化過程都對度量的變化敏感。
$ N_t $ 過程自帶Poisson定律（機率測度） $ P $ 通過強度定義 $ \lambda $ . 在它下面， $ N_t-\lambda t $ 是鞅 $ {\cal F}_t =\sigma(N_u | u\in [0,t]) $ （作為 $ E^P[N_t]=\lambda t $ 和 $ N_t-\lambda t $ 有獨立的增量）。
任何其他等效的Poisson定律， $ Q $ , 通過給定的強度定義 $ \gamma $ , 可以使用 Radon-Nikodym 密度建構
$$ \frac{dQ}{dP}{\bigg|}_{{\cal F}_t} = \exp\left( \ln(\gamma/\lambda)N_t-(\gamma -\lambda)t \right), $$ 通過注意到
$$ Q(N_t=n) = \exp\left( \ln(\gamma/\lambda)n-(\gamma -\lambda)t \right) P(N_t=n) $$ $$ = \exp\left( \ln(\gamma/\lambda)n-(\gamma -\lambda)t \right) (n!)^{-1}(\lambda t)^n\exp(-\lambda t) = (n!)^{-1}(\gamma t)^n\exp(-\gamma t). $$
在下面 $ Q $ , $ N_t-\gamma t $ 是一個 $ {\cal F}_t $ -鞅。
在金融環境中，如果我們只有一個由過程建模的簡單資產（可以添加一個獨立的布朗運動——例如，參見默頓模型，但我們將在此處保留關於Poisson過程的內容）：
$$ dS_t= S_{t^-} (\mu dt + \zeta d(N_t-\lambda t)), $$
在下面 $ P $ , $ \zeta>0 $ , 那麼（利率不變 $ r $ )
$$ d(e^{-rt}S_t)/(e^{-rt}S_{t^-}) = (\mu -r) dt + \zeta d(N_t -\lambda t) $$
這表明 $ e^{-rt}S_t $ 不是鞅 $ \mu \not= r $ .
貼現資產是Poisson下的鞅 $ Q $ 如上為強度而建構的：
$$ \gamma = \lambda - \frac{\mu -r}{\zeta}, $$
製造 $ Q $ 一個EMM。
（請參閱評論中建議的註釋以及這些註釋。）