貼現收益的期望值
我不明白下面的說法：或有債權的價格是在沒有套利的完全市場中定義的風險中性機率測度 Q下貼現收益值的期望值。
$$ \mathbb E^Q\left[(S_T-K)_+e^{-\int_0^T r_s, ds}|\mathcal F_0\right] $$ $ \mathbb E^Q [.] $ 是風險中性測度下的期望 $ Q $ , $ S_T $
是基礎行使價，並且 $ r_s $ 是無風險利率。通過什麼論證，風險中性機率測度的存在意味著投資組合的無套利價值？
1）如果某些過程 $ V_t $ 在某種程度下是鞅 $ Q $ ，我們總是可以寫 $ V_t = \mathbb{E}^Q_t[V_T] $ . 它只是鞅的定義。
- 下一個問題是“我的過程在哪個方面是鞅”？教科書上的人是怎麼回答的？他們說，“我們將衡量你的投資組合相對於貨幣市場賬戶的表現”。現在，MMA穩步增長 $ r(t) $ . 因此，為了保持它的價值不變，他們用你期望的積分來折現它。
然後他們通過改變機率度量來調整您的資產遵循的布朗運動。這就是折扣進入公式的地方。瞧！你的過程現在在那個度量中是鞅，你很高興地寫了上面的公式。
在數學金融中，“無套利”投資組合的概念通常在風險中性度量之前引入。以這種方式表述的套利理論對學生來說是不直覺的：“沒有可以擊敗市場的策略”。（或NFLVR）
然後可以證明這意味著存在風險中性度量（市場的完整性賦予市場的獨特性）。最後在數學上顯示了相反的含義，但興趣不大，因為人們可以通過第一個證明來掌握這個想法。
為什麼這是等價的？資產的價值不是他在契約結束時的預期價值，因為存在風險。沒有 Artbitrage 假設意味著承擔風險有一個共同的價值。如果您在數學上更改您的機率空間以在您的指標中考慮這種常見的風險承擔溢價，那麼資產的價值將是新機率空間中的預期值。這主要是一個數學技巧，它只是將風險溢價考慮在內。
為什麼這很有趣？一勞永逸地找到所有資產的風險中性機率，然後根據資產的預期值對資產進行定價，而不是計算通過風險溢價修正的每個資產的預期值。