基於 LIBOR 的 CF 定價在 LIBOR 固定後通過從風險中性轉向前瞻性中性措施進行結算

在任何利率模型中推導基於 LIBOR 的掉期利率公式時，自然會出現以下類型的表達式：

文獻告訴我們，切換到前向中性度量，它等於：

其中表達式和分別代表時間 t 遠期和時間 T 即期 Libor 利率。

一方面，使用時間-Radon-Nikodym 導數執行測量的變化直接導致期望的結果。

但是，在我看來，我們無權這樣做，因為僅在時間 T 之前定義，並且應用於不再在時間定義的證券是沒有意義的，不是嗎？

另一方面，使用時間-T Radon-Nikodym 導數執行測度變化對我來說更有意義，但會導致在由此獲得的前向中性期望中出現我不知道如何簡化的項。

因此有以下問題：

1. 是否應該使用or來完成測量的更改？
2. 如果應該使用 來完成，它如何與不再定義 fot > T的事實兼容？
3. 如果應該使用，我們如何簡化表達式？

在此先感謝您的幫助。

計價變化公式告訴我們，對於可交易資產 $ X $ , 和兩現金 $ N $ 和 $ M $ 我們可以寫（通過 $ \mathbb{E}^N $ 我表示與 numéraire 相關的鞅測度下的期望 $ N $ ): $$ N_t\times\mathbb{E}^N_t \left[\frac{X_{T_1}}{N_{T_1}} \right] = M_t\times\mathbb{E}^M_t \left[\frac{X_{T_1}}{M_{T_1}} \right] $$

這個公式不一定適用於 $ \sigma $ -代數 $ \mathcal{F}{T_1} $ ！一般來說，它將在 $ \sigma $ -代數 $ \mathcal{F}{T_2} $ 和 $ T_2 \leq T_1 $ .

一方面，您的 LIBOR 流量是 $ \mathcal{F}_T $ - 可測量，所以我們將與 $ t \leq T $ .

另一方面，使用的自然計價法是與您的 LIBOR 流量相同期限的零息債券： $ T+\delta $ . 這是因為 LIBOR 流量可以被視為一籃子零息債券，用以下計價方式表示： $$ L_T(T,T+\delta) = \frac{1}{\delta} \left(\frac{P_T^T - P_T^{T+\delta}}{P_T^{T+\delta}}\right) $$ 用數學術語來說，這意味著 LIBOR 流量是與此 numéraire 相關的度量下的鞅。

因此，將上述公式應用於您的 LIBOR 流程，可以得到： $$ B_t \times \mathbb{E}t^\mathbb{Q} \left[\frac{L_T(T, T+\delta)}{B{T+\delta}} \right] = P_t^{T+\delta} \times \mathbb{E}t^{\mathbb{Q}{T+\delta}}\left[\frac{L_T(T, T+\delta)}{P_{T+\delta}^{T+\delta}} \right] $$ 這簡化為： $$ \begin{aligned} \mathbb{E}_t^\mathbb{Q} \left[ e^{-\int_t^{T+\delta} r(u)du }L_T(T, T+\delta) \right] &= P(t, T+\delta) \times \mathbb{E}t^{\mathbb{Q}{T+\delta}} \left[L_T(T, T+\delta)\right] \ &= P(t, T+\delta) \times L_t(T,T+\delta) \end{aligned} $$

但是，如上所述，這僅在 $ \mathcal{F}_T $ , 所以只對 $ t \leq T $ !

這是一個受 Shreve 的“金融隨機微積分 II”一書中練習 10.12 啟發的解決方案：

1. 度量的變化，包括應用迭代期望定律的技巧：

$$ E_t^Q\left[e^{-\int_{u=t}^{T+\delta}r_udu}\times L_T(T,T+\delta)\right]=E_t^Q\left[E_T^Q\left[e^{-\int_{u=t}^{T+\delta}r_udu}\times L_T(T,T+\delta)\right]\right]=E_t^Q\left[e^{-\int_{u=t}^{T}r_udu}\times L_T(T,T+\delta)\times E_T^Q\left[e^{-\int_{u=T}^{T+\delta}r_udu}\right]\right]=E_t^Q\left[\frac{B_t}{B_T}\times L_T(T,T+\delta)\times P_T^{T+\delta}\right]=E_t^Q\left[\left(\frac{B_t}{B_T}\times \frac{P_T^{T+\delta}}{P_t^{T+\delta}}\right)\times L_T(T,T+\delta)\right]\times P_t^{T+\delta}=E_t^Q\left[\frac{dQ^{T+\delta}}{dQ}|T\times L_T(T,T+\delta)\right]\times P_t^{T+\delta}=E_t^{Q{T+\delta}}\left[L_T(T,T+\delta)\right]\times P_t^{T+\delta} $$

2. 證明 $ L_t(T,T+\delta) $ 是下鞅 $ T+\delta $ -前向措施：

$$ 1+\delta L_t(T,T+\delta)=\frac{P_t^T}{P_t^{T+\delta}}=\frac{E_t^Q\left[\frac{B_t}{B_T}\right]}{P_t^{T+\delta}}=E_t^Q\left[\left(\frac{B_t}{B_T}\times \frac{P_T^{T+\delta}}{P_t^{T+\delta}}\right)\times \frac{P_T^T}{P_T^{T+\delta}}\right]=E_t^Q\left[\frac{dQ^{T+\delta}}{dQ}|T\times \left(1+\delta L_T(T,T+\delta)\right)\right]=E_t^{Q{T+\delta}}\left[1+\delta L_T(T,T+\delta)\right] $$

因此，我們有：  $ L_t(T,T+\delta)=E_t^{Q_{T+\delta}}\left[L_T(T,T+\delta)\right] $

結合這兩個等式導致結果。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/68528