風險中性定價和統計套利
我正在研究資產定價的鞅方法。在處理風險中性機率的概念時，我提出了一個關於“預期套利”可能性的問題。我會用一個（可能過於簡單化）的例子更精確：
考慮一個只有兩點的離散時間框架 $ t=0 $ （今天）和 $ t=1 $ （明天）。在這種情況下，我們考慮由以下組成的市場
- 無風險資產 $ B $ 其價格由下式給出： $ B(0)=1, B(1)=1+r $
- 風險資產 $ S $ 今天的價格由下式給出： $ S(0)=1 $ 明天的價格將由拋硬幣決定： $ S(1)=10 $ ，如果是頭， $ S(1)=0 $ 否則。
考慮市場設定的價值 $ r $ 等於 $ 0.06 $ .
風險資產動態是在“物理機率”下給出的 $ P $ .
要獲得無套利定價，我們必須找到機率的鞅測度 $ Q $ ， IE $ Q $ 英石：
$ \frac{1}{1+r}\mathbb{E}^Q[S(1)|\mathcal{F}_0]=S(0) $
這個簡單上下文中的樣本空間是 $ \Omega={head, tail} $ .
- 物理機率下 $ P(head)=P(tail)=0.5 $ .
- 在鞅機率下 $ Q(head)=0.106 $ 和 $ Q(tail)=0.894 $
現在想為 S 上的衍生品定價，例如帶有行使價的歐盟看漲期權 $ 5$ $ . 此選項的回報將是 $ \Phi(s_1)=(s_1 - 5)^+ $ .
根據物理機率 $ P $ ，該合約今天的期望值為
$ \mathbb{E}^P_0[\Phi(S(1))]=0.5 \cdot 5 + 0.5 \cdot 0=2.5$ $ .
因此，我會給契約的價格是 $ \frac{2.5}{1.06} $ \approx 2.36$ $
然而，這將不是該合約的市場價格：在無套利條件下，它的價格將由貼現預期給出 $ Q $ ， IE：
$ \frac{1}{1.06}\mathbb{E}^Q_0[\Phi(S(1))]= \frac{0.106 \cdot 5 + 0.894 \cdot 0}{1.06} =0.5$ $
這對我來說聽起來很奇怪。似乎我有機會進行一種“預期套利”，因為我的預期投資回報遠高於我必須投資的回報。
我知道這個例子很簡單，但這種現像似乎普遍成立。閱讀了許多關於無風險度量的資源，我了解到這種關於可能結果樣本空間（“世界的潛在狀態集”）的新度量考慮了市場的風險厭惡，從某種意義上說，人們想要支付較少的高風險資產。然而，這開啟了上述“統計套利”的可能性。抽像地講，如果市場上有無數非常高風險的股票，那麼富有的交易者應該為每隻股票購買一個看漲期權，並且根據大數定律肯定會賺錢（這顯然是一種抽象，但我的意思是這個問題“統計套利”）。
我無法弄清楚這種推理在哪裡失敗。問題是：我是否誤解了無套利定價的真正含義，或者這對我來說似乎很奇怪的唯一原因是我錯過了一些經濟/“與真實市場世界相關”的觀點？
“無法弄清楚這種推理在哪裡失敗。問題是：我是否誤解了無套利定價的真正含義，或者這對我來說似乎很奇怪的唯一原因是我錯過了一些經濟/“與世界相關的真實市場“ 觀點看法？”
與第一條評論相反，我認為你確實錯過了一些微妙的東西。首先，為了定價而假設無套利的原因很簡單：因為如果你不這樣做，你就無法以一致且有意義的意義確定資產的價格。假設您在數學模型中允許套利機會。那麼做套利的頭寸價格一定是任意高的。由於機會成本，沒有套利的頭寸價格將為 0。因此，為了能夠以合理的方式定價，您需要假設無套利。換句話說：由你的模型確定的可能的物理機率是由鞅測度給出的！從經濟上講，有人可能會爭辯說，這是因為市場決定的價格中隱含了真實的機率。
顯然，數學模型中使用的假設在現實生活中的許多方面都失敗了。因此，模型的計算機率不正確或至少不精確。然而，使用統計方法估計機率並不是一個簡單的方法，原因有兩個：
1.) 無法測試您的統計估計機率是否準確或“正確”。你可以簡單地投資，看看你是否賺錢，但事後你不知道你是運氣好還是做了一個好的估計。冪律應該在一定程度上保持不變，但這也是有風險的。
2.) 儘管資產和期權定價錯誤，但交易費用和利率差可以保持現實世界的無套利。
此外，風險資產不一定有更好的預期回報，因為風險是定價的。在進行套利時，您通常會嘗試利用套利機會，因此收益本身並沒有發揮如此大的作用，而是收益和風險的比率，因為您可以通過槓桿獲得相同的收益。