風險中性度量的 T 遠期價格
我對 Robert J.Elliot 的書《金融市場數學》中的 T 遠期價格定義有疑問。在他的第 9 章，定義 9.1.3 p.249。他給出了公式，卻沒有解釋怎麼可能。我試圖理解為什麼但沒有成功，所以我在這裡發布問題以請求您的幫助。
提供兩個資產 $ S^1 $ 和 $ S^0 $ 是有風險和無風險的資產， $ P^{*} $ 是貼現風險資產是鞅的風險中性機率（在 Girsanov 變換之後）。
他定義了 T-Forward 價格 $ F(t,T) $ 作為當時約定的風險資產的價格 $ t\leq T $ 將支付 $ S^1 $ 有時 $ T $ . 然後他說這樣的價格滿足了索賠 $ S^1_T - F(t,T) $ 是鞅（在風險中性機率下），更強烈地是零鞅。然後他給出公式
$$ 0=E^{*}\left(\frac{S^1_T - F(t,T)}{S^0_T}\bigg|\mathscr{F}_t\right) $$ 這個論點讓我很困惑。在我了解到之後，必須是零的聲明 $ S^1_T - F(T,T) $ ，我們可以得到它，因為遠期價格在到期時會收斂到現貨價格。所以公式必須是
$$ 0=E^{*}\left(\frac{S^1_T - F(T,T)}{S^0_T}\bigg|\mathscr{F}_t\right) $$ 在我看來。但是如果我按照我的想法去做，我就不能操縱公式來得到他在書中提到的最終結果 $$ F(t,T) = \frac{S^1_t}{B(t,T)} $$
在哪裡 $ B(t,T) $ 是零息債券。 這一點對我來說很重要，因為它有助於理解所有計價變化理論，以及另一個索賠的 T-Forward 價格。任何人都可以有一些建議嗎？謝謝
對於遠期合約的買方，收益為 $ S_T - K $ 有時 $ T $ 因為在這個日期他支付 $ K $ 並獲得底層證券作為交換。考慮以下策略：購買股票 $ S $ 並出售 $ K $ 到期零息債券 $ T $ . 隨時 $ t $ ，你的投資組合的價值是
$$ \Pi_t = S_t - KB(t,T) $$ 特別是在時間 $ T $ ， 它是 $ S_T - KB(T,T) = S_T - K $ 我們的遠期合約的價格，因此在沒有套利的情況下，遠期合約必須與我們的投資組合具有相同的價值 $ t \leq T $ （否則你可以買便宜的，賣掉另一個，以無風險利率投資差價，幾乎可以肯定地在時間上獲利 $ T $ ).
$$ Forward_t = S_t - KB(t,T) $$ 根據定義 $ T $ -遠期價格 $ F_t^T $ 是“公平罷工” $ K $ 設置在 $ t $ 使價值在 $ t $ 遠期合約的價值為零。顯然我們必須設置
$$ K = F_t^T = \frac{S_t}{B(t,T)} $$ 讓我們看一下鞅方法。就像任何或有索賠一樣，我們有鞅屬性
$$ \frac{Forward_t}{S^0_t} = E^[ \frac{Forward_T}{S^0_T} | \mathcal{F}_t ] = E^[ \frac{S_T - K}{S^0_T} | \mathcal{F}_t ] $$ 這是另一種說法，我們有定價公式 $$ Forward_t = S^0_t E^[ \frac{S_T - K}{S^0_T} | \mathcal{F}_t ] = E^[e^{-\int_t^T r_s ds}(S_T -K) | \mathcal{F}_t ] $$ 分離 $ S $ 和 $ K $ 我們得到的零件 $$ Forward_t = S^0_t E^[ \frac{S_T}{S^0_T} | \mathcal{F}_t ] - KS^0_t E^[ \frac{1}{S^0_T} | \mathcal{F}_t ] = S_t - K B(t,T) $$ 最後一個等式如下
- 第一個任期，因為 $ \frac{S}{S^0} $ 是鞅： $ E^*[ \frac{S_T}{S^0_T} | \mathcal{F}_t ] = \frac{S_t}{S^0_t} $ （我們猜測 $ S $ 不支付股息）。
- 對於第二項的定義 $ B(t,T) $ 作為一次支付 1 的合約的價格 $ T $ .
我們再一次發現 $ T $ -遠期價格 $ S $ 有時 $ t $ 是
$$ F_t^T = \frac{S_t}{B(t,T)} $$ 請注意，公式“必須是”是不正確的
$$ 0=E^{*}\left(\frac{S^1_T - F(T,T)}{S^0_T}\bigg|\mathscr{F}_t\right) $$ 僅僅因為它的（條件）期望必須為零並不意味著隨機變數必須為零！顯然 $ T $ - 遠期價格 $ T $ 是 $ F(T,T) = S_T $ 但在 $ t < T $ 遠期價格 $ F_t^T $ 高於現貨價格 $ S_t $ 它可以高於或低於 $ S_T $ 最終會的。 希望有幫助。
首先讓我們分析一下聲稱 $ \frac{(S_t - F(t,T)}{S_{0}} $ 是給定風險中性測度下的鞅 $ P^{*} $ . 回想一下，鞅的關鍵屬性是在某個時間點 $ t $ ， 一個過程 $ \tilde{S}{t} $ 是一段時間內的鞅 $ t+\Delta $ , 的期望值 $ \tilde{S}{t+\Delta} $ 是 $ S_t $ .
所以讓我們開始吧，假設我們有一個過濾器，表示為 $ I_t $ – 這裡直覺 $ I_t $ 對應於我們當時擁有的資訊 $ t $ 在我們的機率空間中。
讓 $ \tilde{S}{t} = \frac{(S{t+\Delta} - F(t+\Delta,T)}{S_{0}} $ . 現在讓我們根據我們當時擁有的資訊來取這個過程的期望值 $ t $ .
$$ \begin{equation} E_{P^{}}(\tilde{S}{t+\Delta}|I{t}) = E_{P^{}}(\frac{S_{t+\Delta} - F(t+\Delta,T)}{S_{0}})\ldots(1) \end{equation} $$ 如果我們假設股票價格的回報是一個韋納過程，那麼使用預期的線性特性，我們有， $$ \begin{equation} E_{P^{}}(S_{t+\Delta}/S_{0}) = S_{t}. \end{equation} $$ 同樣，在風險中性機率測度下，我們有 $ F(t+\Delta ,T) = F(t,T) $ – 這是風險中性遠期價格的定義 $ [t,T] $ . 如果我們將其代入等式（1），我們會得到， $$ \begin{equation} E_{P^{}}(\tilde{S}{t+\Delta}|I{t}) = \tilde{S}{t}. \end{equation} $$ 這證明了想要的結果——過程 $ \tilde{S}t $ 是鞅。 要了解這究竟意味著什麼，讓我們分析一下 $ \tilde{S}{t} $ 包括。尤其 $ \tilde{S}{t} $ 包括股票和債券。在這裡使用您的符號，我們做多單隻股票 $ S_t $ 並做空有收益的債券 $ F(t,T) $ . 如果這個投資組合複製了衍生證券的支付，正如我們所說的那樣，那麼證券的預期價格 $ t+\Delta $ 是投資組合當時的價格 $ t $ – 這是因為上面證明的鞅性質。事實上更多的是真實的。由於我們是在風險中性的衡量標準下定價的，我們也可以說這個預期價格實際上是投資組合的無套利價格，因此是基礎證券的套利價格。