幾何布朗運動的 VaR 和預期不足

鑑於 $ dS_t=\mu S_tdt+\sigma S_tdW_t $ , 無風險利率 r 並將風險價值和預期短缺定義為 $ VaR_{t,a}=S_0e^{rt}-x $ 在哪裡 $ x $ 是這樣的數量 $ P(S_t\leq x)=1-a $ ( $ a: $ 置信水平）和 $ ES_{t,a}=S_0e^{rt}-E(S_t|S_t<x) $ 我發現

$$ VaR_{t,a}=S_0e^{rt} - S_0e^{\sigma\sqrt{t}N^{-1}(1-a)+(\mu-\frac{\sigma^2}{2})t} $$ 和$$ ES_{t,a}=S_0e^{rt}-\frac{S_0e^{\mu t}N[N^{-1}(1-a)-\sigma \sqrt{t}]}{1-a} $$

我有兩個問題：

1. 一個流行的 VaR 公式是 $ S_0\sigma \sqrt{t}N^{-1}(1-a) $ . 這是通過泰勒展開並忽略任何冪得到的嗎？ $ t\geq 1 $ 以及忽略金錢的時間價值？( $ r=0 $ )
2. 我的預期短缺定義和公式是否正確？提前致謝

1. 我們知道在 Black-Scholes-Merton 模型中為看漲期權定價的公式： $$ C=S_0\Phi(d_1)-e^{rt}K\Phi(d_2) $$ 和 $ d_1=\frac{\log\frac{S_0}{K}-T(r+\frac{\sigma^2}{2})}{\sigma\sqrt T} $ 和 $ d_2=d_1-\sigma\sqrt T $ ，假設標的股票不支付股息。期權 delta 由下式給出： $$ \Delta:=\frac{\partial C}{\partial S}=\Phi(d_1) $$ 請注意，當期限變短時，delta 會發散，即 $ \Delta_{\text{ATM}}\rightarrow 1/2 $ , $ \Delta_{\text{ITM}}\rightarrow 1 $ 和 $ \Delta_{\text{OTM}}\rightarrow 0 $ . 讓我們考慮一個由多頭看漲期權組成的投資組合，並表達投資組合的美元價值變化： $$ V^{\$}{t}=C{t}-C_0 $$ 對於底層證券的微小變化，我們可以近似 delta： $$ \Delta\approx\frac{C_{t}-C_0}{S_{t}-S_0} $$ 因此， $$ V^{\$}{t}\approx \Delta(S{t}-S_0)\approx \Delta S_0\log\frac{S_{t}}{S_0}. $$ 此外，我們知道日誌返回是有條件的正態分佈的： $$ \log\frac{S_{t}}{S_0}\sim\mathcal{N}\left(\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)t,\sigma^2t\right) $$ 該投資組合的變異數為： $$ Var(V^{\$}{t})\approx\Delta^2S_0^2\sigma^2t, $$ 因此，該投資組合的 VaR 將為： $$ VaR^{1-\alpha}{t}=-\sqrt{Var(V^{\$}_{t})}\Phi^{-1}(1-\alpha)\approx -\Delta S_0\sigma\sqrt t\Phi^{-1}(1-\alpha). $$ 這是您提供的增量近似值。還考慮選項 gamma，可以通過考慮泰勒展開式中的二次項來擴展這個 VaR 近似。
2. 讓我們從預期缺口的定義開始： $$ ES^{1-\alpha}_t=-\mathbb E_0\left[V^{\$}_t\Big|V^{\$}_t<-VaR^{1-\alpha}_t\right] $$ 注意，我們可以寫 $ \log\frac{S_t}{S_0} $ 就上述標準正態變數而言： $$ \log\frac{S_t}{S_0}=\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}t\right)+\sigma\sqrt tZ_t,\text{ where }Z_t\sim\mathcal N(0,1) $$ 所以，就像以前一樣，我們得到了近似值： $$ V_t^{\$}\approx\Delta S_0\log\frac{S_t}{S_0}=\Delta S_0\left(\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}t\right)+\sigma\sqrt tZ_t\right) $$ 標準正態分佈在門檻值處截斷 $ K $ 定義為 $$ \phi_K(z|z\leq K)=\frac{\phi(z)}{\Phi(K)}\text{ and }\mathbb E[z|z\leq K]=-\frac{\phi(K)}{\Phi(K)}. $$ 這意味著 $$ \begin{align*} ES^{1-\alpha}_t &= -\mathbb E_0\left[V^{\$}_t\Big|V^{\$}_t<-VaR^{1-\alpha}_t\right] \ &= -\mathbb E_0\left[\Delta S_0\left(\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)t+\sigma\sqrt t Z_t\right)\Bigg|\Delta S_0\left(\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)t+\sigma\sqrt t Z_t\right)<-VaR^{1-\alpha}_t\right] \ &= -\Delta S_0\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)t-\Delta S_0\sigma\sqrt t\mathbb E_0\left[Z_t\Bigg|Z_t<-\frac{VaR^{1-\alpha}_t}{\Delta S_0\sigma\sqrt t}\right] \ &=-\Delta S_0\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)t+\Delta S_0\sigma\sqrt t\frac{\phi\left(-\frac{VaR^{1-\alpha}t}{\Delta S_0\sigma\sqrt t}\right)}{\Phi\left(-\frac{VaR^{1-\alpha}t}{\Delta S_0\sigma\sqrt t}\right)} \end{align*} $$ 從1.我們知道，在正態分佈的情況下 $$ VaR^{1-\alpha}{t}=-\sqrt{Var(V^{\$}{t})}\Phi^{-1}(1-\alpha) $$ 所以， $$ ES^{1-\alpha}_t = -\Delta S_0\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)t+\Delta S_0\sigma\sqrt t\frac{\phi(\Phi^{-1}(1-\alpha))}{1-\alpha} $$

總而言之，這些結果使用了 delta 近似值。但對於 GBP，也有一個確切的結果： $$ ES^{1-\alpha}t=S{t-1}\left(1-\frac{\Phi(\Phi^{-1}(1-\alpha)-\sigma)e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}}{1-\alpha}\right) $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/58805