以 P 表示的預期短缺公式
讓 $ X $ 是一個連續的隨機變數並且 $ Q_x $ 是相關的分位數函式。顯示預期的短缺 $ ES_X[p] $ 在置信水平 $ p $ 定義為
$$ ES_X[p]=\Bbb E[X|X\leq Q_x(1-p)] $$有代表性$$ ES_X[p]=\frac{1}{1-p}\int_0^{1-p} Q_x(a)da. $$ 有人可以給我一個提示嗎？
我知道分位數函式的定義 $ Q_X(p)=\inf{x: F_x \geq p} $ ，我可以在直覺的層面上想到它，但想要一些想法從數學上開始
戈登的回答很到位。不過，另一種看待它的方法是使用貝氏公式和變數的變化。
$$ \begin{align*} ES_X(p) &=E\left(X \mid X\le Q_X(1-p)\right)\ &=\int_{-\infty}^{\infty} x, \phi\left(x \mid x\le Q_X(1-p)\right) dx \ &=\int_{-\infty}^{\infty} x, \frac{\phi\left(x\le Q_X(1-p) \mid x \right)\phi(x)}{\int_{-\infty}^{\infty} \phi\left(u\le Q_X(1-p) \mid u \right)\phi(u) du } dx \end{align*} $$ 現在只需注意 $$ \phi\left(x \le Q_X(1-p) \mid x \right) = 1\left{ x \le Q_X(1-p) \right} $$ 能夠像戈登回答的第二行那樣重寫積分 $$ \begin{align*} ES_X(p) &= \frac{E\left(X, 1_{X\le Q_X(1-p)} \right)}{P(X\le Q_X(1-p))} \ &= \frac{1}{1-p} \int_{-\infty}^{Q_X(1-p)} x, \phi(x) dx \end{align*} $$ 變數的變化 $ x \to y=\Phi(x) $ （的 cdf $ X $ ) 完成展示。