Cornish-Fisher VaR（又名修正的 VaR）如何隨時間變化？
我正在考慮Cornish-Fisher VaR的時間尺度（參見例如第 130 頁的公式）。
它涉及收益的偏度和**超峰度。**該公式很清楚，並且在單個時間段（例如，每日收益和具有一天持有期的 VaR）的各種論文中進行了充分研究（和批評）。
有人知道如何隨時間縮放它的參考嗎？我會尋找類似時間平方根規則的東西（例如，每日收益和持有期為*d天的 VaR）。*但是，分別縮放偏度、峰度和波動性並將它們塞回去感覺並不好。有任何想法嗎？
如果 $ z_\alpha $ 就是所謂的標準法線 $ z $ - 顯著性水平得分 $ \alpha $ 這樣
$$ \frac 1 {\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{z_\alpha} e^{-\xi^2/2}d\xi=\alpha $$ 我們假設正態性（忽略偏度和峰度）然後我們可以估計 $ \alpha $ 帶有 cdf 的分佈的分位數 $ \Phi $ 作為$$ \Phi^{-1}(\alpha)=\mu + \sigma z_\alpha. $$ Cornish-Fisher 展開式試圖根據前幾個累積量更準確地直接估計這一點$$ \Phi^{-1}(\alpha)=y_\alpha, $$在哪裡（在我們應用任何縮放之前） $$ y_\alpha= \kappa_1
- \frac {z_\alpha}2
- \frac {z_\alpha \kappa_2 }2
- \frac {(z_\alpha^2-1) \kappa_3}6
- \frac {(z_\alpha^3-3z_\alpha) \kappa_4}{24}
- \frac {(2z_\alpha - 5z_\alpha) \kappa_3^2}{36}. $$（注意 $ \mu=\kappa_1 $ 和 $ \sigma^2=\kappa_2 $ .) 直接用累積量表示，讓我們嘗試將其直接隨時間縮放，作為無限可分、獨立同分佈隨機變數的捲積。在這種情況下，所有階的累積量隨時間線性縮放，因為它們只是在卷積下相加。 $$ y_\alpha[t] = \kappa_1t
- \frac {z_\alpha}2
- \frac {z_\alpha \kappa_2 t}2
- \frac {(z_\alpha^2-1) \kappa_3 t}6
- \frac {(z_\alpha^3-3z_\alpha) \kappa_4 t}{24}
- \frac {(2z_\alpha - 5z_\alpha) \kappa_3^2 t^2}{36}. $$但我們想要 $ y_\alpha[t] = \mu t + (\sigma\sqrt t )x_\alpha[t] $ 在哪裡 $ x_\alpha[t] $ 是具有零均值和單位變異數的隨機變數的分位數函式。首先是術語 $ \kappa_1t $ 作為我們的 $ \mu t $ 因為所有其他累積量都是移位不變的。其次，我們需要劃分每個剩餘的累積量 $ \kappa_kt $ 經過 $ (\sigma\sqrt t)^k=(\kappa_2t)^{k/2} $ （因為 $ k $ th cumulant 是有序的 $ k $ 。） 所以： $$ y_\alpha[t] = \mu t + \sigma\sqrt t \left[ z_\alpha
- \frac {(z_\alpha^2-1) \kappa_3 t}{6(\kappa_2t)^{3/2}}
- \frac {(z_\alpha^3-3z_\alpha) \kappa_4 t}{24(\kappa_2t)^2}
- \frac {(2z_\alpha - 5z_\alpha) \kappa_3^2 t^2}{36(\kappa_2t)^3}\right]. $$ $$ y_\alpha[t] = \mu t + \sigma\sqrt t \left[ z_\alpha
- \frac {(z_\alpha^2-1) \kappa_3}{6\sigma^3t^{1/2}}
- \frac {(z_\alpha^3-3z_\alpha) \kappa_4}{24\sigma^4 t}
- \frac {(2z_\alpha - 5z_\alpha) \kappa_3^2}{36\sigma^6t}\right]. $$ 但一般我們寫 $ \gamma_1=\kappa_3/\sigma^3 $ 和 $ \gamma_2=\kappa_4/\sigma^4 $ 分別為偏度和峰度，因此 $$ y_\alpha[t] = \mu t + \sigma\sqrt t \left[ z_\alpha
- \frac {(z_\alpha^2-1) \gamma_1}{6\sqrt t}
- \frac {(z_\alpha^3-3z_\alpha) \gamma_2}{24t}
- \frac {(2z_\alpha - 5z_\alpha) \gamma_1^2}{36t}\right]. $$ 風險價值為
$$ \mathrm{VaR} = K_0 \left( 1 - {\exp (y_{\alpha}[t]-rt})\right), $$ 在哪裡 $ K_0 $ 是初始資本， $ \alpha $ 是某種程度的顯著性，比如 1% 到 5% 左右，並且 $ r $ 是某個瞬時無風險利率、適當的貼現率或要求的回報率，但人們選擇對其進行定義。（這個表達式應該在足夠長的時間內變為負數，因為從長遠來看，如果 $ \mu>0 $ .)