風險中性投資者和 VaR 約束條件下的最大化
在本文中，作者製作了一個簡單的模型：
(1) 一家全球銀行，風險中性但有風險價值約束：
$$ \max_{x_t^B} E_t[x_t^B\prime R_{t+1}] $$英石$$ \alpha (Var(x_t^B\prime R_{t+1}))^{\frac{1}{2}} <= 1 $$ 在哪裡 $ R_{t+1} $ 是一個 (nx 1) 的返迴向量， $ x_t^B $ 是一個 (nx 1) 權重向量 $ \alpha $ 是一個參數，並且 $ Var $ 是變異數運算元。 我嘗試設置一個應該產生的拉格朗日：
$$ \mathcal{L} = E_t[x_t^B\prime R_{t+1}] - \lambda_t (1 - \alpha (Var(x_t^B\prime R_{t+1}))^{\frac{1}{2}}) $$ 一階條件wrt $ x_t^B $ 正在讓我：
$$ E_t(R_{t+1}) - \lambda_t \alpha Var(x_t^B\prime R_{t+1})^{-\frac{1}{2}} Var(R_{t+1}) x_t^B = 0 $$ 與論文上給出的解決方案相比，我似乎多了一個術語 $ Var(x_t^B\prime R_{t+1})^{-\frac{1}{2}} $ .
誰可以幫我這個事？謝謝。
關於您的問題，您似乎將變異數視為線性運算符，但事實並非如此。但很難說，因為你的括號不匹配。
完全同意@Kiwiakos 的評論，這不是“VaR”（風險價值）約束，而是“Var”（變異數）約束。
這是我的做法，我將刪除上標 $ B $ 保持符號整潔。
首先，對原始約束進行平方以獲得涉及變異數而不是標準差的不等式。接下來建構拉格朗日
$$ \mathcal{L}(x_t^\prime) = E_t[ x_t^\prime R_{t+1} ] - \lambda \left( 1 - \alpha^2 \text{Var}(x_t^\prime R_{t+1}) \right) $$ 假設對投資組合權重沒有進一步限制，KKT 平穩條件寫道：
$$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_t^\prime}(x_t^\prime) = \frac{\partial}{\partial x_t^\prime} \left( E_t[ x_t^\prime R_{t+1} ] - \lambda \left( 1 - \alpha^2 \left( E_t[\left(x_t^\prime R_{t+1}\right)^2] - E_t[x_t^\prime R_{t+1}]^2 \right) \right) \right) = 0 $$ 通過期望運算元的線性，RHS 等價地寫
$$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_t^\prime}(x_t^\prime) = E_t[ R_{t+1} ] + \lambda \alpha^2 \left( E_t[2(x_t^\prime R_{t+1})R_{t+1}] - 2 E_t[x_t^\prime R_{t+1}] E_t[R_{t+1}] \right) $$ 最後，因為投資組合權重 $ x_t $ 當時知道 $ t $
$$ \begin{align} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_t^\prime}(x_t^\prime) &= E_t[ R_{t+1} ] + 2 x_t^\prime \lambda \alpha^2 \left( E_t[R_{t+1}^2] - E_t[R_{t+1}]^2 \right) \ &= E_t[ R_{t+1} ] + \tilde{\lambda} x_t^\prime \text{Var}(R_{t+1}) \end{align} $$ 這是您參考論文中給出的結果嗎？我不能完全確認，因為它似乎在付費牆後面。