參數 VaR、正態性和次可加性
晚上好; 我只是有一個關於風險價值和可加性屬性的簡單問題，我知道這聽起來很傻
我知道，一般來說，VaR 不是次加性的。但是，如果投資組合包含橢圓分佈的風險因素，則 VaR 將是次加性的。
我不明白為什麼橢圓分佈（例如正態分佈）意味著VaR 的次加性。
提前致謝。
認為 $ X\sim N(\mu_X,\sigma_X^2) $ 和 $ Y\sim N(\mu_Y,\sigma_Y^2) $ 是相關的聯合正態隨機變數。那麼，$$ X+Y\sim N(\mu_X+\mu_Y,\sigma^2_X+\sigma_Y^2+2\rho\sigma_X\sigma_Y). $$
認為 $ X $ 和 $ Y $ 表示您的投資組合收益的利潤（因此為負值 $ X,Y $ 平均損失）。那麼，5% 的風險值就是利潤分配的 0.05 分位數（在最壞的 5% 的情況下，您損失的最小金額） $ \Leftrightarrow $ 在 95% 的情況下，您的損失肯定會低於這個風險價值）。因此，使用正態分佈的反函式（參見此處）， $$ \begin{align*} \text{VaR}(X,\alpha)&=-\mu_X+\sigma_X\Phi^{-1}(1-\alpha),\ \text{VaR}(Y,\alpha)&=-\mu_Y+\sigma_Y\Phi^{-1}(1-\alpha), \ \text{VaR}(X+Y,\alpha)&=-\mu_X-\mu_Y+\sqrt{\sigma^2_X+\sigma_Y^2+2\rho\sigma_X\sigma_Y}\Phi^{-1}(1-\alpha). \end{align*} $$ 因此， $$ \begin{align*} \text{VaR}(X,\alpha) + \text{VaR}(Y,\alpha) &= -\mu_X-\mu_Y+(\sigma_X+\sigma_Y)\Phi^{-1}(1-\alpha) \ &\geq -\mu_X-\mu_Y+\sqrt{\sigma^2_X+\sigma_Y^2+2\rho\sigma_X\sigma_Y}\Phi^{-1}(1-\alpha) \ &= \text{VaR}(X+Y,\alpha), \end{align*} $$ 因為對於 $ \rho\in(-1,1) $ , $$ \begin{align*} \sigma_X+\sigma_Y = \sqrt{\sigma^2_X+\sigma_Y^2+2\sigma_X\sigma_Y} \geq \sqrt{\sigma^2_X+\sigma_Y^2+2\rho\sigma_X\sigma_Y}. \end{align*} $$
因此，如果我們假設，對於兩個正態分佈的損失分佈，風險價值（就像標準偏差一樣）始終是次加性的 $ \alpha<0.5 $ , (``多元化的好處’’): 一個投資組合包含 $ X $ 和 $ Y $ 風險低於單個風險的總和。如果我們假設不同的分佈 $ X $ 和 $ Y $ ，那麼這個結果可能不再成立。
當然，您可以調整一些權重並考慮 $ wX+(1-w)Y $ .