關於 VaR 和 CVaR 的問題。之間有沒有關係在一個R一個(X)在一個R一個(X)VaR_{alpha}(X)和在一個R一個(-X)在一個R一個(−X)VaR_{alpha}(-X)， 或者C在一個R一個(X)C在一個R一個(X)CVa…
在處理風險價值 (VaR) 和條件風險價值 (CVaR) 時，我有一些問題。
之間有沒有關係 $ VaR_{\alpha}(X) $ 和 $ VaR_{\alpha}(- X) $ ， 或者 $ CVaR_{\alpha}(X) $ 和 $ CVaR_{\alpha}(-X) $ ?
這裡， $ VaR $ 和 $ CVaR $ 定義為：
$$ VaR_{\alpha}(X) := \inf \left{x\in \mathbb{R}| Pr(X >x)\leq \alpha \right}, \alpha \in [0, 1] $$ $$ CVaR_{\alpha}(X) := \frac{1}{\alpha}\int_{0}^{\alpha}VaR_{s}(X)ds $$
我們考慮分佈函式的情況 $ F $ 的 $ X $ 是嚴格增加的。然後
$$ \begin{align*} VaR_{\alpha}(X) &= \inf{x: P(X >x) \le \alpha }\ &=\inf{x: F(x)\ge 1-\alpha }\ &=F^{-1}(1-\alpha). \end{align*} $$ 此外，我們注意到分佈函式 $ G $ 的 $ -X $ 定義為 $$ \begin{align*} G(x) &= P(-X \le x) \ &=1-F(-x), \end{align*} $$ 然後， $$ \begin{align*} VaR_{\alpha}(-X) &= G^{-1}(1-\alpha)\ &=-F^{-1}(\alpha)\ &=-VaR_{1-\alpha}(X). \end{align*} $$ 此外， $$ \begin{align*} CVaR_{\alpha}(-X) &=\frac{1}{\alpha}\int_0^{\alpha}VaR_s(-X)ds\ &=-\frac{1}{\alpha}\int_0^{\alpha}VaR_{1-s}(X)ds\ &={\color{red}{-}}\frac{1}{\alpha}\int_{1-\alpha}^1 VaR_s(X)ds\ &=-\frac{1}{\alpha}\left(\int_0^1 VaR_s(X)ds - \int_0^{1-\alpha} VaR_s(X)ds\right)\ &=-\frac{1}{\alpha}\int_0^1F^{-1}(1-s)ds +\frac{1-\alpha}{\alpha}CVaR_{1-\alpha}(X)\ &=-\frac{1}{\alpha}\int_0^1F^{-1}(s)ds +\frac{1-\alpha}{\alpha}CVaR_{1-\alpha}(X)\ &=-\frac{1}{\alpha}\int_{-\infty}^{\infty} x, dF(x) +\frac{1-\alpha}{\alpha}CVaR_{1-\alpha}(X)\ &=-\frac{1}{\alpha} E(X) +\frac{1-\alpha}{\alpha}CVaR_{1-\alpha}(X). \end{align*} $$