遞增函式下的風險價值
有一個練習我很難解決。我希望你能給我一個提示。
設 X 為隨機變數，取值 $ I\subset \mathbb{R} $ . 我必須證明風險價值在任何遞增和連續函式下都是不變的 $ f:I \rightarrow \mathbb{R} $ 對於每個 $ \alpha \in (0,1) $ ， IE， $ VaR_{\alpha}(f(X))=f(VaR_{\alpha}(X)) $ .
我知道對於 $ X_1\geq X_2,\mathbb{P}-a.s. \leftrightarrow VaR_{\alpha}(X_1)\geq VaR_{\alpha}(X_2) $ . 我可能必須證明 $ VaR_{\alpha}(f(X))\geq f(VaR_{\alpha}(X)) $ 和 $ VaR_{\alpha}(f(X))\leq f(VaR_{\alpha}(X)) $ .
我可以寫 $ f(X)=\tilde{X} $ 因此可能 $ \tilde{X}\geq X, \mathbb{P}-a.s. $ 意思是 $ VaR_{\alpha}(f(X))\geq VaR_{\alpha}(X) $ ，但後來我被卡住了。這甚至是開始證明的正確方法嗎？
我很感激任何提示和想法！
簡單的方法是從 VaR 的這個定義開始：
$ P\left[ X \le \mathrm{VaR}_\alpha\left(X\right)\right]=\alpha $
現在如果 f 從左邊開始增加並且連續，那麼很容易證明：
$ P\left[ f\left(X\right) \le \mathrm{VaR}_\alpha\left(f\left(X\right)\right)\right]=\alpha $
下一個申請 $ f^{-1} $ 到 P 內部不等式的兩邊：
$ P\left[ X \le f^{-1}\left{\mathrm{VaR}_\alpha\left(f\left(X\right)\right)\right}\right]=\alpha $
將其與第一個等式進行比較，我們可以推斷出：
$ \mathrm{VaR}\alpha\left(X\right)=f^{-1}\left{\mathrm{VaR}\alpha\left(f\left(X\right)\right)\right} $
$ \Rightarrow f \left(\mathrm{VaR}\alpha\left(X\right)\right)=\mathrm{VaR}\alpha\left(f\left(X\right)\right) $