規避風險的代理人的確定性等值能否低於賭博的最低可能結果？
假設有一個代理人面臨以下賭博 g：
- 50 $機率為 1/3
- 100 $機率為 1/3
- 150 $機率為 1/3
顯然，E
$$ g $$= 100美元。由於代理人是風險厭惡者，我們期望 U(E$$ g $$) < U(CE) ，其中 CE 是確定性等價物。現在，我的問題是，是否有可能代理的此賭博的確定性等值低於 50美元，或者它是否一定會在 50美元和 100美元之間？
“由於代理人是規避風險的，我們預計 $ U(E[g]) < U(CE) $ ， 在哪裡 $ CE $ 是確定性等價物。”
這是錯誤的。我假設預期效用屬性在這裡成立，因此，如果我們將賭博表示為 $ G $ ，一個離散的均勻隨機變數，根據設置取三個值，我們有
$$ U(CE) \equiv \sum_{i=1}^3p_iU(g_i) = E[U(G)] < U[E(G)] $$ 由於 Jensen 不等式和假設 $ U() $ 是凹的。這也給了我們
$$ CE < E(G) $$ 這應該是直覺的：一個風險中性的人會要求 $ E(G) $ ，賭博的期望值，為了不拿它。一個厭惡風險的人需要更少的 , 來離開賭博。
清除此問題後，OP 詢問：是否有可能 $ CE < \min G $ ?
答案是：**不。**假設賭博結果是有序的，所以 $ \min G = g_1 $ .
荒謬的是，假設 $ CE < g_1 $ 持有。然後我們會有
$$ U(CE) < U(g_1) $$ 使用定義 $ CE $ 我們替換左側
$$ \sum_{i=1}^3p_iU(g_i) < U(g_1) \implies p_2U(g_2) + p_3U(g_3) < (1-p_1) U(g_1) $$ $$ \implies p_2U(g_2) + p_3U(g_3) < p_2U(g_1) + p_3U(g_1) $$ $$ \implies p_2[U(g_2)-U(g_1)] + p_3[U(g_3)-U(g_1)] < 0 $$ 但這是不可能的，因為 $ g_1 = \min{g_1,g_2, g_3} $ 所以
$ U(g_2)-U(g_1) >0 $ 和 $ U(g_3)-U(g_1) >0 $ .
所以假設 $ U(CE) < U(g_1) $ 把我們帶到了一個不可能的境地，因此它不能成立。
直覺上，賭博的最壞結果是得到最低限度的回報——所以對於一個理性的代理人來說，即使它厭惡風險，接受低於最壞結果的結果也是不合理的，因為那樣的話肯定會做得更糟而不是賭博。請注意，“規避風險”並不意味著“不惜一切代價消除所有風險”。