如何從估計的 EWMA 共變異數矩陣中獲得多元 Beta？
我有 4 項資產的投資組合。我也有 3 個指數的回報。我想基於這些資產獲得這 4 種資產的多元 beta。我只有通過指數加權移動平均模型 (EWMA) 估計的 7 x 7 共變異數矩陣。我將如何獲得這些多元測試版？我從單變數感知中知道我會使用共變異數（Asset1Return，Index1Return）/Var（Index1），但這只會給出單變數 beta。
使用此解決方案，您必須在一定程度上拆分共變異數矩陣，但它應該根據您的條件共變異數為您提供一個帶有 beta 的向量。
具有兩個索引的範例， $ x1 $ 和 $ x2 $ , 和一項資產 $ y $ .
$$ [\sigma_{y,x1}, \sigma_{y, x2}]\begin{bmatrix} \sigma_{x1}^2 & \sigma_{x1,x2} \ \sigma_{x1,x2} & \sigma_{x2}^2 \end{bmatrix}^{-1} $$
假設您以經典回歸方式進行了計算。如果您將您的 4 項資產回報的回報粘在一個 $ (T\times 4) $ 矩陣 $ Y $ ，並且您的 3 因子返回 $ (T\times 3) $ 矩陣 $ X $ ，那麼您的 beta 將解決多重回歸，收集在 $ (3\times 4) $ 矩陣
$$ Y = X\cdot \beta + \epsilon $$ 您還可以在其中添加一列 $ X $ 如果你想也有一個常數，但這沒關係。OLS 解決方案是 $$ \beta = (X’X)^{-1}(X’Y) $$ 您可以看到與您描述的單變數 cov/var 公式的類比。這 $ X’Y $ 部分對應於 $ (3\times 4) $ 資產因子共變異數，而 $ X’X $ 部分對應於 $ (3\times 3) $ 因子-因子共變異數。
因此我會說你的大 $ (7\times 7) $ EWMA 共變異數矩陣可以劃分為
$$ \left( \begin{array}{cc} X’X & X’Y \ Y’X & Y’Y \end{array} \right) $$ 您可以從中選擇正確的元素來計算 beta。