當回報只能取兩個值時，投資組合理論中的風險代理
我正在嘗試將投資組合理論中的工具用於另一種用途，我有一個關於如何做到這一點的問題。
假設收益不是正態分佈，而是收益 $ R_i $ 要麼是 3 要麼 0。所以， $ E(R_i)=3P(R_i=3) $ .
在 Modern Portfolio 的 wiki 頁面上，它說
請注意，該理論使用收益的標準差作為風險的代理，如果資產收益是聯合正態分佈或橢圓分佈，則該理論是有效的。
我主要對計算預期回報和風險 a la wiki感興趣。我想用這些作為衡量相對較少數量的可能投資組合的指標。但顯然在我感興趣的情況下，回報不是正態分佈的。仍然使用收益的標準差作為“風險代理”的後果是什麼？有沒有更有意義的替代措施？
假設收益是正態分佈的，以伯努利收益的平均值為中心，具有相同的變異數，這有多糟糕？
賭注並不是特別高，目前我正在嘗試做的唯一工具是人類判斷和經驗（該應用程序不在金融領域）。
首先，您需要定義您需要風險度量的內容。通常是做出決定，因此您有一個定義風險的操作標準。你應該回到這一點，看看分佈變化對它有什麼影響。
舉例來說，您需要一種風險度量來根據夏普比率做出決策，並將其定義為：
$$ {\cal S}(R) = \frac{R-R_0}{\sigma(R)} $$ 在這種情況下，夏普比率很有用，因為它可以直接代表您的回報率大於 $ R_0 $ 假如說 $ R $ 遵循高斯過程（我們在這裡），因為如果你定義 $ \Phi $ 高斯的重新分配函式（即 $ \mathbb{P}(G>g)=\Phi(g) $ ） 你有：
$$ \mathbb{P}(R>R_0)=\Phi( {\cal S}(R)) = \Phi\left( \frac{R-R_0}{\sigma(R)} \right) $$ 所以現在“如果 $ \tilde R $ 不再是高斯了嗎？“。對於相同的操作標準（即機率大於一個基 $ R_0 $ )，你可以很容易地找到答案：
- 如果 $ R_0 $ 大於 3：
$$ \mathbb{P}({\tilde R}>R_0)=0 $$
- 如果 $ R_0 $ 低於 0：
$$ \mathbb{P}({\tilde R}>R_0)=1 $$
- 別的
$$ \mathbb{P}({\tilde R}>R_0)=1-\mathbb{P}({\tilde R}=3) $$
所以你有答案（它可以復製到你的玩具範例的任何其他發行版）：
- 回到您的操作標準
- 寫下它對你的分佈的意義
- 你有答案
這是一個使用標準差作為風險衡量標準沒有意義的範例：
假設情況 1：得到 3 的機率是 0.5，得到 0 的機率是 0.5。你的預期回報是
1.5，你預期的標準差是1.5（我希望我的計算是正確的）。情況2：得到5的機率是0.5，得到0的機率是0.5。你的預期回報是
2.5，你預期的標準差是2.5（我希望我的計算是正確的）。但是案例2真的有更高的風險嗎？如果有怎麼辦？有人會更喜歡案例 1 中的選項，因為它的風險較小嗎？在上述情況下，從案例 1 到案例 2 時增加標準差只有正面影響，沒有負面影響，案例 2 中的選項顯然是更好的選擇。在我們有正態分佈的情況下，不會發生這樣的事情。
風險價值是您可以查看的另一種風險度量。