CVaR 公式
我是一名研究實習生，我正在研究一個關於通過使用條件風險價值最大化厭惡風險的新聞供應商的利潤的主題。問題是我發現了 CVaR 的不同表達方式。在規避風險的報童問題論文中，我發現了以下公式：
但是，在風險管理文件（金融等）中，我發現了以下一份證明：
第一個公式是最大化問題，第二個公式是最小化問題。
問題是我無法找到這兩個公式之間的聯繫。
π(μ,D)：π是一個利潤函式，它取決於我們可以控制μ（決策變數向量）的一些因素， D代表隨機性，這種情況下是隨機需求。 Y：是表示損失函式的隨機變數。 α是可變的。它沒有特殊含義。但我們可以證明，Value-at-Risk 是第二個優化問題的解決方案。我覺得有一些東西失去了，但我不知道是什麼，因為首先我們談論利潤，然後我們談論損失。也許有一些與此相關的缺失。
請你幫助我好嗎？
謝謝
如果 $ Y=-\pi(\mu,D) $ 那麼第一個公式是 $$ \mathrm{CVaR}\eta(-Y)=\max{\nu\in R}\left{\nu+\frac1\eta E((-Y-\nu)^-)\right} $$ 在哪裡 $ X^-=\min (X,0) $ 和 $ X^+=\max(X,0) $ . 注意 $ (-X)^-=-(X^+) $ .
如果我們讓 $ 1-\alpha=\eta $ 和 $ \nu=-a $ 這變成（假設 $ \max=\sup $ ，即獲得了 sup，並使用 $ \sup(\mathcal A)=-\inf(-\mathcal A) $ ): $$ \begin{eqnarray*}\max_{\nu\in R}\left{\nu+\frac{1}{1-\alpha} E(-((Y+\nu)^+))\right}&=&\sup_{\nu\in R}\left{\nu+\frac{-1}{1-\alpha} E((Y+\nu)^+)\right}\ =\sup_{a\in R}\left{-a+\frac{-1}{1-\alpha} E((Y-a)^+)\right} &=&-\inf_{a\in R}\left{-\left(-a+\frac{-1}{1-\alpha} E((Y-a)^+)\right)\right}\ &=&-\inf_{a\in R}\left{a+\frac{1}{1-\alpha} E((Y-a)^+)\right}\end{eqnarray*} $$
現在讓我們想像一下 $ \pi(\mu,D) $ 是利潤和 $ Y=-\pi(\mu,D) $ 是相應的損失。
所以 CVaR 的 $ Y $ ，根據第二個公式，損失是利潤的 CVaR 的負數， $ -Y $ ，根據第一個公式。
因此，我想在處理損失時，我們將 CVaR 視為負數，例如參見Kozarevic 的回答。