預期短缺替代配方
定義：
$$ q_\alpha(F_L)=F^{\leftarrow}(\alpha)=\inf\lbrace{x\in \mathbb{R}\mid F_L(x)\geq \alpha\rbrace}=VaR_\alpha(L) $$ 我想證明：
$$ ES_\alpha = \frac{1}{1-\alpha}\mathbb{E}[\mathbb{1}{\lbrace{ L\geq q\alpha(L)\rbrace}}\cdot L] \overset{!!!}{=}\mathbb{E}[L\mid L\geq q_\alpha(L)] $$ 我被困為：
$$ \mathbb{E}[\mathbb{1}{\lbrace{ L\geq q\alpha(L)\rbrace}}\cdot L]= \mathbb{E}[\mathbb{E}[\mathbb{1}{\lbrace{ L\geq q\alpha(L)\rbrace}}\cdot L\mid L\geq q_\alpha(L)]] = \mathbb{E}[\mathbb{1}{\lbrace{ L\geq q\alpha(L)\rbrace}}\cdot\mathbb{E}[L\mid L\geq q_\alpha(L)]\ ] $$ 現在我想用那個 $ \Pr(L\geq q_\alpha(L) \ )=1-\alpha $ ，但我不知道如何進行。
注意
$$ \begin{align*} \mathbb{E}\big(L \mid L\geq q_\alpha(L)\big) &= \frac{\mathbb{E}\big(\pmb{1}{{L\geq q\alpha(L)}} L\big)}{\mathbb{P}\big(L\geq q_\alpha(L) \big)}. \end{align*} $$ 公式緊隨其後。