正態分佈收益的凱利準則
如果我的策略收益分佈像𝒩
$$ μ,σ $$，作為μ和σ的函式，投資於每筆交易的最佳資本比例是多少？幫助！ PS。我知道正態分佈的回報是一種抽象。但在探索肥尾對公式的影響之前，我想在一個理想的世界中掌握這個概念……
這個問題可以表示為原來的默頓投資組合問題。
考慮 SDE 定義的財富過程
$$ d X _ { t } = \frac { X _ { t } \alpha _ { t } } { S _ { t } } d S _ { t } + \frac { X _ { t } \left( 1 - \alpha _ { t } \right) } { S _ { t } ^ { 0 } } d S _ { t } ^ { 0 } $$
在哪裡 $ \alpha_t $ 是風險資產投資的比例 $ S_t $ ， 和 $ S_t^0 $ 是無風險資產。
最優準則可能取決於投資者的風險厭惡程度，問題是最大化投資者的期望效用以獲得適當的效用函式 $ U $ :
$$ E \left[ U \left( X _ { T } \right) \right] \rightarrow \max $$
效用函式的經典選擇是 CRRA：
$$ u ( x ) = \frac { x ^ { 1 - \gamma } } { 1 - \gamma } $$
在哪裡 $ \gamma $ 是常數，對應於投資者的風險厭惡程度。
如果資產 $ S_t $ 遵循 Black-Scholes 動力學（符合您對對數正態回報的假設）
$$ \begin{aligned} d S _ { t } ^ { 0 } & = r S _ { t } ^ { 0 } d t \ d S _ { t } & = \mu S _ { t } d t + \sigma S _ { t } d W _ { t } \end{aligned} $$
值得注意的是，有一個封閉形式的解決方案，即將固定比例的財富投資於風險資產
$$ \alpha_t = \frac { \mu - r } { \gamma \sigma ^ { 2 } } $$
請注意，該解決方案可以解釋為均值變異數權衡。