投資組合 - 預設機率
假設我們想確定一個有 1000 筆貸款的投資組合的違約頻率。在獨立的情況下，每個公司的預設過程遵循伯努利分佈，參數為 $ p = 0.01 $ .
也就是說，每家公司都有 1% 的獨立違約機率。這可以用指標函式來表示 $ {Y_i},i=1,…,1000 $ ， 在哪裡 $ P(Y_i = 1) = p $ .
在相關情況下，所有公司都有一個共同的因素 $ X $ （例如，這裡它可以是一個宏變數）並且它們的預設程序可以表示為 $ Y_i = I_{X_i<a} $ 在哪裡 $ X_i = X +ε_i $ ， 和 $ X ∼ N(0,1) $ 和 $ ε_i ∼ N(0,b) $ , $ i = 1,…,1000 $ . 全部 $ ε $ 是相互獨立的，並且從 $ X $ .
讓 $ M = \sum_{i=1}^{1000}Y_i $ 代表您的投資組合中的違約數量。之間有什麼關係 $ a $ 和 $ b $ 這樣每家公司的邊際違約機率仍然是 1%，我如何計算違約相關性 $ ρ(Y_i,Y_j) $ 作為一個函式 $ a $ 和 $ b $ ?
由於線性機率模型失敗的所有原因，法線不會在這裡減少芥末。它可以產生負機率；如果不是，則保證是異變異數的，
如果您有證據表明某些變數與預設機率相關，那麼邏輯回歸似乎是一種明顯的整合方式。這個變數可能是“微觀的”，例如公司債務對 EBITDA 的覆蓋率，它區分了或多或少可能違約的公司。或者可能是“宏觀”，例如全球 GDP 增長，它會影響一般公司的違約機率。當然，不同類型的公司可能對這些宏觀風險因素有非常不同的（後勤）貝塔……
因此，如何選擇對這些風險進行建模遠非一本封閉的書。但底層回歸需要基於違約機率（logits 或 probits，通常給出非常相似的結果），而不是直接基於違約機率本身！
出色地 $ \text{Pr}(X<a)=0.01 $ 為了 $ a\approx -2.33 $ . 自從 $ \text{Var}(X+\epsilon_{i})=1+b $ 我們需要按比例縮放 $ \sqrt{1+b} $ ， 所以 $ \text{Pr}(X+\epsilon_{i}<a)=0.01 $ 為了 $ a\approx -2.33\sqrt{1+b} $ .
然後注意 $$ \begin{equation*} \begin{pmatrix}X_{i}\X_{j}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1 & 1 & 0\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}X\ \epsilon_{i} \ \epsilon_{j}\end{pmatrix} \end{equation*} $$ 所以它的共變異數矩陣將由下式給出 $$ \begin{equation*} \begin{pmatrix}1 & 1 & 0\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\ 0 & b & 0 \ 0 & 0 & b\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1\ 1 & 0 \ 0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1+b & 1 \ 1 & 1 + b\end{pmatrix}. \end{equation*} $$ 在那之後，如果你想要數字，我認為你需要轉移到 Mathematica 或其他東西。
編輯：沒有你想要的那麼多？這是一個關於雙變數 Normal 的事實，它有點相關。如果 $$ \begin{equation*} f(\rho,x,y)=\frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^{2}}} \exp\left{-\frac{1}{2(1-\rho^{2})}\left(x^{2}-2\rho x y + y^{2}\right)\right} \end{equation*} $$ 和 $$ \begin{equation*} F(\rho,s,t)=\int_{-\infty}^{s}dx \int_{-\infty}^{t}dy, f(\rho,x,y), \end{equation*} $$ 然後 $$ \begin{equation*} \frac{\partial F}{\partial \rho}(\rho,s,t)=f(\rho,s,t). \end{equation*} $$ 參見例如 Sungur (1990) 參數化 Copulas 中的依賴資訊，統計通信——模擬和計算，19:4，1339-1360，DOI：10.1080/03610919008812920。
要將其應用於您的問題，請重新定義 $ X_{i} $ 根據 $$ \begin{equation*} X_{i}=\frac{1}{\sqrt{1+b}}\left(X+\epsilon_{i}\right) \end{equation*} $$ 以便 $ \begin{pmatrix} X_{i} \ X_{j} \end{pmatrix} $ 有共變異數矩陣 $ \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{1+b} \ \frac{1}{1+b} & 1 \end{pmatrix} $ . 現在 $ a = -2.33 $ 可以保持獨立 $ b $ ， 和 $ \rho=\frac{1}{1+b} $ .
由於總相關 $ \rho=1 $ 意味著有機率同時違約 $ 0.01 $ , $$ \begin{equation*} F\left(\frac{1}{1+b},a,a\right) + \int_{\frac{1}{1+b}}^{1}\frac{\partial F}{\partial \rho}(\rho,a,a) , d\rho= 0.01. \end{equation*} $$ 因此 $$ \begin{align*} F\left(\frac{1}{1+b},a,a\right)&= 0.01 - \int_{\frac{1}{1+b}}^{1} f(\rho,a,a) , d\rho \ &= 0.01 - \int_{\frac{1}{1+b}}^{1} \frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^{2}}}\exp\left{{-\frac{a^{2}}{1+\rho}}\right} , d\rho. \end{align*} $$ 這個數量，也稱為 $ \mathbb{E}\left[Y_{i}Y_{j}\right] $ ，是我認為你要的那個。對於小 $ b $ , $$ \begin{align*} \mathbb{E}\left[Y_{i}Y_{j}\right]&\approx 0.01 - \frac{1}{2\pi}\exp\left{-\frac{a^{2}}{2}\right}\arccos\frac{1}{1+b}\ &\approx 0.01 - 0.01063 \arccos\frac{1}{1+b} \end{align*} $$