關於優化 CVaR 的 Rockafellar 論文的問題

在 Rockafellar 和 Uryasev 關於CVaR 優化的論文中，他們在等式 (17) 中表明，使用蒙特卡羅模擬可以使用

$$ \tilde F_{\beta}(x,\alpha)=\alpha+\frac{1}{q(1-\beta)}\sum_{k=1}^qmax(-x^Ty_k-\alpha,0) $$逼近 CVaR 逼近，其中 $ \alpha $ 表示百分位數 $ \beta- $ CVaR, $ x\in\Bbb R^n $ 投資組合和 $ y_k $ 第 k 個場景的回報。在接下來的段落中，他介紹了一些輔助實變數 $ u_k $ 為了 $ k=1,…,r $ 並聲稱它相當於最小化線性表達式$$ \alpha+\frac{1}{q(1-\beta)}\sum_{k=1}^qu_k $$受制於 $ u_k\geq0 $ 和 $ x^Ty_k+\alpha+u_k\geq0 $ . 問題：

1. 為什麼指數是 $ u_k $ 從 1 到 r 而不是 q？
2. 為什麼這兩個問題是等價的？我可以將第二個問題中的最後一個條件重寫為 $ u_k\geq-x^Ty_k-\alpha $ 並與 $ u_k\geq0 $ 我允許 $ -x^Ty_k-\alpha\leq0 $ 總和，在第一個問題中的值為 0 $ max(-x^Ty_k-\alpha,0) $ 在總結中。

在 1 上，我懷疑這是一個錯字，第二個公式的總和應為 r。

在 2 上，這是應用眾所周知的技術來處理優化器中的分段線性函式。例如，參見這些講義的第 4 頁。它基本上是在做同樣的事情，但有一些額外的複雜性。在 CVaR 優化中，有更多的東西要總結，而且 $ \alpha $ 也是優化的一部分（在優化之後， $ \alpha $ 應等於風險價值）。

最後，你的數學有問題： $ -x^Ty_k-\alpha\leq0 $ 僅在以下情況下 $ u_k $ 總是 $ 0 $ .

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/34585