為什麼投資組合的變異數是二次形式？

我正在閱讀 MPT http://en.wikipedia.org/wiki/Modern_portfolio_theory並註意到投資組合的總變異數是 $ x’ \Sigma x $ ，其中 x 是資產的權重​​，並且 $ \Sigma $ 收益的共變異數。

我試圖獲得一些直覺，為什麼這是一個二次方，而不僅僅是單個資產風險的總和乘以它們的權重。

如果您將單個資產的變異數作為二次方進行縮放，

$$ var(\lambda X) = \lambda^2 var(X) $$ 因此，一般情況給出二次形式也就不足為奇了。

如果您將歷史資產收益樣本作為風險模型，那麼您可以做兩件事：

1. 你計算 $ r_j = \sum_{i=1}^n w_i r_i^j $ 因此對於每個場景 $ j $ 您可以匯總各個資產回報以獲得投資組合的情景。然後你可以計算 $ Var(r_j) $ 投資組合收益樣本的變異數。這與
2. 你計算共變異數矩陣 $ \Sigma $ 對個別資產回報，然後執行 $ x’ \Sigma x $ .

結果將是相同的。在程序 1) 中，您將看到具有正相關性的資產往往會增加或減少情景中的總投資組合收益 $ j $ （正共變異數） - 其他人將相互抵消（負共變異數）。這就是共變異數如何影響投資組合收益的變異數。在 1）中，您可以在每種情況下（平均而言）清楚地看到它，並且在 2）中，您將其翻譯成 $ \Sigma $ .

這應該回答為什麼共變異數輸入變異數的表達式。為什麼它是二次形式：正如 Mark Joshi 所說：它是單變數情況的直接概括。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/17636