下行偏差年化
是否有可能將下行偏差年化？如果是這樣，基於什麼理論？
一系列每日收益的下行偏差 (DD) 根據以下公式計算：
$ \text{DD} = \sqrt{\frac{1}{{T}}\sum_{t=1}^{T}(\text{min}(\text{ret}_t,\text{thr}))^2} $
其中 T 是每日觀察次數，thr 是門檻值，例如 0 或回報的平均值。
根據我們希望用公式表示的內容，也可以使用其他定義。例如：
$ \text{DD} = \sqrt{\frac{1}{{T}}\sum_{t=1}^{T}(\text{min}((\text{ret}_t - \text{thr}),0))^2} $
DD 基本上只是以回報小於為條件的平方回報的平均值 $ thr $ . 如果 $ \rho(\xi) $ 是回報的分佈，那麼你的公式的連續等價物是：
$ E[\mathit{DD}]=\sqrt{\int_{-\infty}^{thr}\xi^2\rho(\xi)d\xi} $
所以基本上只要你假設 $ \rho(\xi) $ 是靜止的， $ E[\mathit{DD}] $ 不會是觀察時間的函式。
如果您假設您的收益是 iid 正態分佈的 $ R_i \sim \mathcal{N}(0, 1) $ ，然後使用第二個定義，並使用@ZRH 提供的公式…
$$ E[DD] = \sqrt{\int_{-\infty}^{c}x^2\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}exp(-\frac{x^2}{2}) dx } $$
因此，您將得到擴展（按部分集成）；
$$ E[DD] = \sqrt{ \left [ - x \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} exp(-\frac{x^2}{2}) \right ]{-\infty}^c + \int{-\infty}^{c} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}exp(-\frac{x^2}{2})} $$
這是（在哪裡 $ \Phi(c) $ 是標準正態累積分佈函式），
$$ E[DD] = \sqrt{ -\frac{c}{\sqrt{2 \pi}} exp(-\frac{c^2}{2}) + \Phi(c) } ;. $$
現在你提出一個估算器， $ \theta(T) $ , 對於這個值基於第二個定義。你應該關注偏見；
$$ Bias(\theta) = E[\theta - E[DD]] $$ $$ Bias(\theta) = E \left [\sqrt{\frac{1}{T}\sum_i^T \min(0, x_i-c)^2} \right ] - E[DD] $$
我提到這一點的原因是因為年化可能會涉及結果的一些乘法，如果偏差不為零，你將放大這個樣本誤差，如果這個估計量有很大的差異，那麼通過年化，你將放大一個可能很差的估計量。
由於缺乏時間或能力（我不清楚它是什麼），我無法擴展上述內容，但即使在這種簡單的標準正常情況下，我也不清楚該怎麼做。這可能並不一定那麼糟糕：偏差可能為零且變異數很小。