計算呈指數分佈的負債的 VaR？
保險公司面臨責任損失
$ L = \begin{cases} 0, & \mbox{with probability } 0.75 \ Z, & \mbox{with probability } 0.25\end{cases} $
在哪裡 $ Z\sim Exp(\mu) $ . 我要計算 $ \mbox{VaR}_{\alpha} $ 對於任何 $ \alpha\in(0,1) $ 什麼時候 $ R_0=1 $ .
我知道 $ \mbox{VaR}_{\alpha}(X)=F_L^{-1}(1-\alpha) $ （和 $ L=-X/R_0) $
但是，我真的不知道我應該如何解釋責任，因為 $ Z $ 是一個隨機變數。有誰能幫幫我嗎？
水平的 VaR $ \alpha $ 損失隨機變數（越大越差）是數量 $ q $ 這樣損失的機率越大 $ 1-\alpha $ .
因此我們需要一個 $ q $ 這樣
$$ P[L>q] = 1-\alpha, $$ 我們可以想像的地方 $ \alpha=99% $ 因此我們需要 $ 1% $ 尾巴。因為我們有可能會縮小尺寸 $ 0 $ 的 $ 75% $ 我們那裡的 CDF 不連續。 我們必須分析的cdf $ L $ 詳細說明：回顧指數 rv 的密度由下式給出 $ \mu \exp(-\mu x) $ 我們得到
$$ P[L \le q] = 0.75+0.25 \int_0^q \mu \exp(-\mu x) dx = 0.75 + 0.25(1- \exp(-\mu q)). $$ 對於給定的級別 $ \alpha $ 然後我們可以解決 $$ \alpha = 0.75 + 0.25(1- \exp(-\mu q)) $$ 通過重新排列術語並得到 $$ (\alpha-0.75)/0.25 = 1 - \exp(-\mu q) $$ 最後 $$ q = -\frac{1}{\mu} \ln\left(1- (\alpha-0.75)/0.25 \right). $$ 例如對於 $ \mu=1 $ 和 $ \alpha=0.99 $ 我們得到一個 VaR $ 3.2189 $ 在混合情況下，而在沒有質量為零的指數情況下，它將是 $ -\ln(1-\alpha) = 4.6052 $ .