是否可以針對多元 t 分佈收益分析計算投資組合的風險價值？
眾所周知，除了最嚴格的情況外，VaR 通常不是次加性的（通常當假設高斯收益分佈時，它在最重要的時候會失敗）。
基於模擬的風險價值違反了次可加性，因為投資組合的模擬 VaR 可能高於資產 VaR 的總和，這與多元化相矛盾。
是否可以估計樣本共變異數矩陣 $ \hat\Sigma $ 和預期收益向量 $ \hat\mu $ 對於資產組合——就像對多元高斯函式一樣——但隨後還要估計（或簡單地假設）一個值 $ \hat\nu $ 對於多變數的自由度 $ t $ -分佈並由此推斷投資組合回報將遵循 $ t $ -分佈與 $ \theta = [\hat{\mu}_p, \hat{\sigma}_p, \hat{\nu}_p] $ ， 在哪裡 $ \hat{\nu}_p $ 是“聚合”自由度參數嗎？
很明顯，估計的投資組合平均收益為 $ \hat{\mu}_p = \omega’ \hat{\mu} $ 並且投資組合波動率是 $ \hat{\sigma}_p = \omega’\hat{\Sigma}\omega $ ， 在哪裡 $ \omega $ 是個 $ N\times1 $ 投資組合權重的列向量，因此高斯分佈很容易從多變數“聚合”到單變數。我不清楚的是，自由度參數是否從多元分佈延續到如上所述的單變數分佈，這樣 $ \nu_p = \nu $ .
讓 $ n- $ 返回的維向量 $ \mathbf{r} $ 具有多元 t 分佈 $ \nu $ 自由程度。任何成分的邊際分佈 $ r_i $ 也有一個單變數 t 分佈 $ \nu $ 自由程度。
為了看到這一點，假設已減去平均收益，多元 t 分佈分解為 $ \mathbf{r} = s^{-1} \mathbf{z} $ 在哪裡 $ \mathbf{z} $ 具有帶有一些共變異數矩陣的多元正態分佈 $ \Sigma $ 和獨立隨機變數 $ s $ 在哪裡 $ \nu s^2 $ 有一個卡方分佈 $ \nu $ 自由程度。
寫作 $ {\mathbf{r} \leqslant \mathbf{x}} $ 作為事件 $ \bigcap_{i=1}^n{r_i \leqslant x_i} $ 我們看到
$$ P(\mathbf{r} \leqslant \mathbf{x}) = P(s^{-1}\mathbf{z} \leqslant \mathbf{x}) = P( \mathbf{z} \leqslant s\mathbf{x}), $$ 和聯合分佈函式（對於獨立的 s 和 $ \mathbf{z} $ ） 是
$$ F(\mathbf{x}) = \int_0^\infty\int_{-\infty}^{s\mathbf{x}} \frac{2 (\nu/2)^{\nu/2}}{\Gamma(\nu/2)}s^{\nu-1} e^{-\nu s^2/2}(2\pi)^{-n/2} |\Sigma|^{-1/2} e^{{-\frac{1}{2}\mathbf{\xi}’ \Sigma^{-1}}\mathbf{\xi}}, d \mathbf{\xi} , ds. $$ 由於多元正態分佈的邊際分佈是正態的，我們可以讓積分上限 $ x_j \to \infty $ 對所有人 $ j \neq i $ 並獲得單變數 t 分佈 $ \nu $ 自由度作為邊際分佈 $ r_i $ :
$$ F_i(x_i) = \int_0^\infty\int_{-\infty}^{sx_i} \frac{2 (\nu/2)^{\nu/2}}{\Gamma(\nu/2)}s^{\nu-1} e^{-\nu s^2/2}(2\pi)^{-1/2} \sigma_{i}^{-2} e^{{-\frac{\xi_i^2}{2\sigma_i^2}}}, d \xi_i , ds. $$ 現在的問題變成了線性組合如何 $ \mathbf{\omega}’\mathbf{r} $ 分佈給定的組件 $ \mathbf{r} $ 有 t 個分佈 $ \nu $ 自由程度。與正態變數不同，該組合通常不會保留 t 分佈。
這裡討論了組合是如何分佈的。