恆定的相對風險厭惡
問題：
考慮一個具有恆定相對風險厭惡 p 的人。
(a) 假設某人擁有 100,000 的財富，並且面臨一場賭博，他以相同的機率贏或輸 x。計算他為避免賭博而支付的金額，對於不同的 p 值（例如，在 0.5 和 40 之間），對於 x=100、x=1000、x=10,000 和 x=25000。對於大型賭博，做大值p 看起來合理嗎？小賭怎麼辦？
(b) 假設 p > 1 並且這個人擁有財富 w。假設他被提供一場賭博，他輸掉 x 或贏得 y 的機率相同。證明如果 p >= (log(0.5)+log(1-x/w))/log(1-x/w)，無論 y 有多大，他都會拒絕賭博。
我不知道從哪裡開始。我是在求解風險溢價並乘以 w 嗎？
我知道對於擁有 CRRA 實用程序 u(w)= (1/(1-p))w^(1-p) 的人來說，如果 u((1-pi)，個人將支付 pi(w) 以避免賭博)w)=E
$$ u(1+epsilon tilda)w) $$. 但我不確定如何應用這些資訊來解決問題。任何幫助表示讚賞。
如果你有 $ p=0.5 $ 例如： $ U(w)=ln(2w) $
這是為什麼？相對風險厭惡由下式給出
$$ RRA=\frac{-wU’’(w)}{U(‘w)}=\frac{-w*(-1/4w^2)}{1/2w}=0.5 $$ 現在您可以應用您的公式。
舉個例子： $ x= 10000 $ 和 $ \pi=0.5=1-\pi. $ 那麼預期效用等於
$ EU(x,w)=0.5ln(2(w+x))+0.5ln(2(w-x))=0.5ln(220000)+0.5ln(180000) $
你要知道 $ RP:Risk~premium $
所以你需要解決 $ U(w-RP)=EU(x,w)=0.5ln(220000)+0.5ln(180000) $
或者 $ ln(200000-2RP)=12.20 $
由此得出
$$ RP=\frac{200000 -e^{12,2}}2=501.25 $$ 這是投資者為避免賭博而準備支付的金額。