累積與邊際違約機率
我理解違約的累積（又名無條件）機率是在給定時期內違約的機率，例如：在第 1 年和第 5 年之間。進一步 $ \pi_{cumulative} = 1-e^{-\lambda*t} $ 其中 lambda 是危險率。
我理解違約的邊際（又名條件）機率是當時違約的機率 $ T $ 給予生存到那個時候。更遠 $ \pi_{marginal} = \lambda e^{-\lambda*t} $ 其中 lambda 是危險率。
試圖解決以下問題，我想出了一個接近但關閉的值。
問題
1 年風險率 = 0.1。第一年倖存，第二年違約的機率是多少？
我的解決方案是計算違約的邊際機率 = $ 0.1\lambda e^{0.1*2} $ = 8.19%
但給出的答案是 8.61% 是通過以下方式得出的：
1 年累積（也稱為無條件）PD = 1 - e^(- hazard*time) = 9.516%
2 年累積（也稱為無條件）PD = 1 - e^(- hazard*time) = 18.127%
解決方案 - 18.127% - 9.516% = 8.611%
我的方法是不正確的還是只是一個近似值？
這個問題聽起來像是一個條件機率問題。但是，請注意，對於條件機率，人們通常會說如果倖存到或以 為條件。在這裡它說**在第一年倖存下來，**並且（即隨後）將在第二年違約。那麼我們不應該將其視為條件或邊際機率。
基於以上理解，機率可以計算如下：
$$ \begin{align*} P(\tau >1 \ and \ \tau \le 2) &= P(1 < \tau \le 2)\ &=P\big((\tau \le 2) \setminus(\tau \le 1) \big)\ &=P(\tau \le 2) - P(\tau \le 1)\ &= \big(1- e^{-2\lambda}\big) - \big(1- e^{-\lambda}\big)\ &= 18.127,% - 9.516,% \ &= 8.611,%. \end{align*} $$ 這裡， $ \tau $ 是預設時間。