推導風險厭惡係數
通過考慮 Markowitz 的均值變異數標準的參數化公式，風險厭惡係數 $ \lambda $ 可以推導如下。
- 正如 Arrow 和 Pratt 所建議的，考慮到投資者的效用函式 $ U(x) $ , $ \lambda $ 對於特定水平的初始財富 $ x $ 可以通過重複到絕對值來近似 $ A_a $ 和親戚 $ A_r $ Arrow-Prat 風險規避措施。
$$ A_a(x)=-\frac{U’’(x)}{U’(x)} $$
$$ A_r(x)=-x\frac{U’’(x)}{U’(x)} $$
- 推導出整個有效邊界，可以得到 $ \lambda $ 含蓄地。這將是導致首選風險水平的原因。
我想知道是否有其他方法可以計算這種係數而無需辨識效用函式。我已經能夠找到一個計算 $ \lambda $ 如下，但我不明白它背後的想法，除了它模糊地類似於安全第一比率或夏普比率 $ r_f=0 $ . 具體來說，如果 $ \mu_B $ 和 $ \sigma^2_B $ 分別是基準的預期收益和變異數 $ B $ ， 然後
$$ \lambda=\frac{\mu_B}{2\sigma^2_B}. $$
奇怪的是，對於相同級別的 $ \mu_B $ ， 什麼時候 $ \sigma^2_B\to +\infty $ 係數 $ \lambda\to0 $ . 這個結果符合選擇理論嗎？它似乎更可能與前景理論有關，或者由於沒有其他參數，該公式似乎僅暗示風險尋求行為。
我知道您想從可以“在野外”觀察到的投資組合中得出某種形式的風險偏好參數，我將相應地討論這個問題。作為旁注，文獻中有一個完整的主題討論了使用巧妙設計的選擇實驗的風險偏好的可引發性 - 以及效用函式的形式。該連結是一個隨機範例。
重新回答你的問題
AP 措施是在本地定義的，並且可以（理論上）用於比較代理之間的風險厭惡程度。AP 度量需要效用函式的函式效用形式，並且需要計算其一階和二階導數。
因此，在實踐中，您需要一種計算二階導數的方法（數值上：至少三個數據點）。
如果你首先假設一個函式形式，你可以在一些額外的限制下找到它的風險偏好參數，我想。下面，我將討論兩種情況：一種可以獲取參數，另一種是不可能的（我認為）。
假設
我們的代理人對 CARA 效用函式是風險厭惡的 $ u(x)=1-e^{-\gamma x} $ 帶有風險厭惡參數 $ \gamma>0 $ . 代理人投資於一些投資組合權重 $ w $ 為簡單起見，我們假設對數返回是多元正態分佈的， $ x\sim N(\mu,\Sigma) $ . 由於代理想要最大化預期效用，因此我們有它們：
$$ \begin{align} \max_{w}\mathrm{E(u(w))}&=\max_{w}\left(1-\mathrm{E}(e^{-\gamma w^Tx})\right)\ &=\max_{w}\left(1-e^{-\gamma w^T\mu+\frac{1}{2}\gamma^2w^T\Sigma w}\right)\ &\propto\max_{w}\left(w^T\mu-\frac{1}{2}\gamma w^T\Sigma w\right)\ \end{align} $$ 受制於 $ \sum_i w_i=1 $ ， IE $ w^Te=1 $ 和 $ e $ 一個向量。
1. 高效的投資組合
在我們的第一個範例中，代理不僅面臨風險投資集 $ x $ 但也是無風險利率 $ r_f $ . 因此，他們的投資組合優化決策是
$$ \max_{w}\quad w^T\mu-\frac{1}{2}\gamma w^T\Sigma w+\left(1-w^Te\right)r_f $$
有最優條件
$$ \gamma \Sigma w=\mu-er_f $$
顯然，一旦我們觀察到最優風險投資組合 $ w^* $ ，我們可以重寫最優性條件並找到
$$ \gamma (w^)^T\Sigma w^=(w^)^T(\mu-er_f) \Rightarrow \gamma = \frac{(w^)^T(\mu-er_f)}{(\sigma^*)^2} $$
2. 無無風險投資 另一方面，如果沒有可用的無風險投資，則代理人在完全投資限制下最大化其預期效用，導致 FOC：
$$ \begin{align} \gamma\Sigma w -\lambda e &= \mu\ w^Te&=1 \end{align} $$
因為我們只能觀察他們的“最佳”投資組合 $ w^* $ 而不是他們的最佳拉格朗日參數 $ \lambda $ ，我們無法得出他們的風險厭惡參數 $ \gamma $ 在這種情況下。
HTH？
附錄
要回答您的其他評論/文章：
假設您想測量給定效用形式（CARA，如上）和觀察到的投資於風險資產的財富**比例的風險厭惡參數。然後我們首先應該注意，這本質上與我上面的範例1.**相同，但在沒有無風險利率的單變數設置中。儘管如此，讓我嘗試勾勒出路徑：
一切都假設如上，代理人決定財富的份額 $ W $ （此時，不限制在 0% 和 100% 之間）投資於風險資產。讓我們簡化並設置 $ W=1 $ ，則風險消費為
$$ c=(1-\alpha)+\alpha x $$
與 $ x\sim N(\mu,\sigma^2) $ , 期望效用是
$$ EU(\alpha)=1-e^{-\lambda (1-\alpha)-\alpha\lambda\mu+\frac{1}{2}\alpha^2\lambda^2\sigma^2} $$
期望效用的優化類似於最大化以下內容
$$ \max_{\alpha} \quad 1-\alpha + \alpha\mu-\frac{1}{2}\alpha^2\lambda\sigma^2 $$
帶 FOC
$$ \mu-1 =\alpha\lambda\sigma^2 $$
因此您可以退出參數 $ \lambda $ 從觀察到的投資分數 $ \alpha $ 作為
$$ \lambda^* = \frac{\mu-1}{\alpha \sigma^2} $$
注意：不要擔心 $ -1 $ 在提名人中，這源於回報和實用程序的設置方式。如果做得更仔細，你確實會到達 $ \lambda^* = \frac{\mu}{\alpha \sigma^2} $
HTH？
編輯 讓 $ x $ 成為可用投資者的財富。給定一個基準 $ B $ 可以被認為是市場組合的代理，讓 $ x_B $ 投資財富的數量。也讓 $ \mu_b $ 和 $ \sigma^2_B $ 是預期收益和變異數 $ B $ ， 分別。
投資者通過考慮風險收益狀況來解決投資與不投資之間的權衡 $ B $ . 個人偏好通過以下方式表達 $ \lambda $ .
$$ \max_{x_B}\mu_Bx_B-\lambda x_B^2\sigma_B^2 $$
那麼一階條件是
$$ \frac{\partial f}{\partial x_B}=\mu_B-2\lambda x_B\sigma_B^2=0 $$這導致
$$ \lambda=\frac{\mu_B}{2\sigma^2_Bx_B} $$