基於效用理論區分風險厭惡
效用函式 $ U $ 其對應的相對風險厭惡函式是線性遞增函式，滿足微分方程
$$ -x\frac{U’’(x)}{U’(x)}=ax+b $$ 對於一些常數 $ a>o $ 和 $ b\in \mathbf{R} $
顯示
$$ U(x)=c \int _0 ^x t^{-b}e^{-at} dt $$在哪裡 $ c>0 $ 是一個任意常數。
我按摩了方程，使它變得友好。
$$ -x \frac{d^2U}{dx^2}=(ax+b)\frac{dU}{dx} $$ 讓 $ \frac{dU}{dx}=v $
$$ -x \frac{dv}{dx}=(ax+b)v $$ $$ x \frac{dv}{dx}+axv=-bv $$ 如果
$$ e^{\int (ax) dx}=e^{a\frac{x^2}{2}} $$ $$ \therefore ve^{a\frac{x^2}{2}}=b\int e^{a\frac{x^2}{2}} dx $$ $$ \therefore ve^{a\frac{x^2}{2}}=ba^2x e^{a\frac{x^2}{2}}+C $$ $$ v=ba^2x+Ce^{-a\frac{x^2}{2}} $$ $$ \frac{dU}{dx}=ba^2x+Ce^{-a\frac{x^2}{2}} $$ $$ u=ba^2\frac{x^2}{2}+C\int e^{-a\frac{x^2}{2}} dx $$ 但答案是
$$ U(x)=c\int^c_0 t^{-b}e^{-at}dt $$ 我不明白在哪裡 $ t $ 來到等式中。
$$ -x \frac{d^2U}{dx^2}=(ax+b)\frac{dU}{dx} $$ 讓 $ \frac{dU}{dx}=v $
$$ -x \frac{dv}{dx}=(ax+b)v $$ 重新排列
$$ -\frac{1}{v} dv=\left(a+\frac{b}{x}\right)dx $$ $$ -\int(\ln{v}) dv= \int \left(a+\frac{b}{x}\right) dx $$ $$ v=C e^{-ax}x^b $$ 在哪裡 $ C $ 是一個常數。通過採取 $ t $ 作為虛擬變數。
$$ U(x)= C\int ^x_0e^{-at}t^{-b}, dt $$