“風險溢價”是否意味著預期價值的差異？
我試圖理解“風險溢價”這個詞。我經常看到這樣的陳述（來自 Investopedia）“風險溢價是指資產預期收益超過無風險回報率的投資回報。” 然後解釋說：“風險投資必須提供更大回報的潛力，以補償投資者損失部分或全部資本的風險。”
在我看來，這兩個句子沒有捕捉到相同的概念。我掛斷的是“預期”這個詞的使用。“風險溢價”是否是指無風險和有風險投資的*預期值的差異，如結果分佈的平均值？*例如，隨著結果變異數的增加，投資的預期價值也應該增加（這種差異就是風險溢價？）。如果是這樣，為什麼風險投資的預期價值必然更高？我看到它說需要溢價才能讓一般的“投資者”購買風險更高的資產，但這不一定是真的。一些人在賽馬上賭 50 美元，而另一些人則賭上他們畢生的積蓄。
或者“風險溢價”僅僅是指潛在的上漲必須平衡潛在的下跌這一事實——這意味著預期價值沒有變化？在這種情況下，上面的句子更準確地說是“風險溢價是資產預期產生的投資回報（考慮到投資的“成功”）超過無風險回報率。
風險更大的投資不一定需要像虧損那樣有負面影響，只是有可能比風險較小的資產賺取更少的收益。
讓我們來看一個簡化的例子——請告訴我哪些部分不清楚。
假設我們可以選擇兩種投資。“無風險”的投資現在是 1 美元，一年後肯定值2.50美元。已知“風險”投資有 1/3 的機率在 1 年內價值1.50美元，2/3 的機率在 1 年內價值3美元。
（當然，在現實生活中，您可以選擇許多風險或多或少的投資；有些實際上可能會賠錢；但您並不真正知道它們獲得任何特定回報的機率。可能的回報可能是有限的，也可能不是有限的高於或低於。）
由於我們得到了這些虛構的機率，因此該風險投資 1 年價值的“預期價值”的著名公式是 1/3 * $ 1.50 + 2/3 * $ 3. = $ 2.50 - 相同作為無風險資產（我編造了數字以使它們匹配）。
那麼，今天的風險投資應該值多少錢？
這不是數學或金融問題。相反，這是一個人類心理學問題。一個很常見的求職面試問題是“假設我們扔一個 6 面骰子。如果出現 1，你付給我2美元。否則（如果出現 2..6），我付給你4美元。多少錢你願意花錢玩這個遊戲嗎？” 可以看到收益的期望值為 $ -\frac{1}{6}\times 2+\frac{5}{6}\times 4=1 $ . 但有人願意支付多少取決於他們的風險厭惡程度。
根據情況，包括投資規模，風險資產的交易價格可能低於或高於具有相同預期價值的無風險投資。例如，在彩票的情況下，很多人為一張期望值（中獎機率）的彩票支付一兩美元。 $ \times $ 頭獎）低於門票的成本（罕見的大頭獎除外）。同樣，許多人在賭場玩得很開心，因為他們知道他們的獎金可能無法抵消他們的損失。在這種情況下，與將無風險的美元放在口袋里相比，投資者願意為贏得更多資金的小機會支付更多費用。
“負”風險溢價是指風險投資的交易價格高於未來預期價值相同的無風險投資。或者等效地，如果風險投資和無風險投資以相同的價格交易，那麼（較小的）風險投資在未來的預期價值小於無風險投資的預期價值。
相反，“正”風險溢價意味著風險投資的交易價格低於未來預期價值相同的無風險投資。
彩票通常以負風險溢價出售，除非有一段時間沒有人中獎，頭獎變得巨大，風險溢價變為正，通常不玩彩票的人開始購買彩票——但是門票價格不變。另一個例子，如果您開車經過康涅狄格州，您可能會注意到預訂賭場的廣告牌上標有“最寬鬆的老虎機”，支付率為 98%。不是一個成功的投資，即使你被騙了，你也可以吃自助餐和酒店房間來安慰賠錢。賭場裡一位穿著得體的可愛雞尾酒女服務員提供的“免費”水飲料的美元價值是多少？我不知道，但有些人似乎把它高估了很多。
但在其他情況下，投資者更喜歡確定性，並且厭惡收益低於無風險投資的可能性，因此無風險投資的交易價格低於風險投資。這是一個經驗觀察。當人們實際“投資”而不是“賭博”以娛樂目的時，他們更喜歡正風險溢價。金額越大，他們就越厭惡風險。但是對於不同的市場參與者，諸如“大”和“我知道我不會比無風險投資賺得更少的效用”和“我有機會賺得比無風險投資更多的效用”這樣的概念會有所不同。
例如，保險公司的商業模式是發現錯誤定價的風險，並採取錯誤定價的觀點。例如，大多數房主更喜歡購買火災保險而不是自我保險。他們願意為保險公司支付的火災保險費用高於自我保險的預期價值。單個火災事件對於個人房主來說是創傷性和災難性的，但對於大型保險公司來說一切照舊（meh）。
例如，股票指數的看跌期權通常以負風險溢價交易，因為投資者購買它們是作為尾部風險的對沖/保險，而不是作為投資。