頻譜風險測量範例
讓我們採用光譜風險度量的通常定義。
如果我們看一下積分，我們會發現譜風險度量具有隨機變數的風險度量的性質 $ X $ 可以用分位數的組合來表示 $ X $ .
由於分位數函式相當友好，因此每個頻譜風險度量也是一個連貫的風險度量。
範例是預期值和預期不足 (CVaR)。在這些情況下，光譜表示產生了一種非常方便的方法，通過簡單地衡量我們數據集的分位數來近似測量。這會產生以下問題：
是否有任何其他已知的具有光譜表示的度量？如果我們放寬對頻譜的假設 $ \phi $ ，我們能否獲得其他（可能是不連貫的）風險度量的（近似序列）？
編輯：針對@Joshua Ulrich 的評論，我想提供一個範例來說明我想要實現的目標以及更多細節。
- 範例：有風險的條件價值。我們有以下公式： $ \text{CVaR}_\alpha(X) = -\frac{1}{\alpha}\int_0^{\alpha}F^{-1}_X(p)dp $ . 從樣品 $ X_i $ , $ i=1,\ldots,N $ ，我們可以通過獲取訂單統計量來計算 CVaR $ \alpha $ - 樣本的尾部，平均，除以 $ \alpha $ . 我們可以看到，這是一個測量有一個光譜表示 $ \phi(p) = \frac{1}{\alpha} $ 為了 $ p \in [0,\alpha] $ 和 $ \phi(p) = 0 $ 為了 $ p \in (\alpha, 1] $ . 所以它很容易檢查：CVaR 是一種光譜測量。
顯然，“階數統計 + 加權平均”過程不僅適用於 CVaR，它適用於所有光譜測量：從光譜測量的定義我們看到，在離散積分之後，我們有一個近似的測量是分位數的線性組合，非常容易計算。
事實上，它是如此簡單，以至於我想以這種方式計算盡可能多的風險度量（例如，如果你做 monte carlo 或場景非常容易）。僅用於計算，我不需要所有關於 $ \phi $ 所以讓我們暫時忘記它們，看看我們還能用這種方式計算什麼。
我相信前景理論（由 Kahneman、Amos 和 Tversky 定義）隱含地使用了頻譜風險度量。雖然我找不到任何將兩者聯繫起來的文獻，但我認為關於損失厭惡的直覺之間存在明顯的聯繫。主要區別在於頻譜風險測量是規範性的；我們假設效用函式是已知的。另一方面，前景理論本質上是描述性的（即反映觀察到的行為）。此外，我知道頻譜風險度量擴展到投資組合風險，而前景理論度量則處理通用效用。
來源：維基百科。前景理論
同樣，雖然我沒有看到任何關於該主題的文獻，但如果有人證明前景理論風險度量（以圖表 A 為代表）符合以下給出的光譜風險度量的一致性標準，那將是很有趣的：
$ {\displaystyle \rho :{\mathcal {L}}\to \mathbb {R} } $ 滿足：
- 正同質性：對於每個投資組合 X 和正值 $ {\displaystyle \lambda >0} \lambda >0 $ , $ {\displaystyle \rho (\lambda > X)=\lambda \rho (X)} $ ;
- 平移不變性：對於每個投資組合 X 和 $ \alpha \in \mathbb {R} $ , $ {\displaystyle \rho (X+a)=\rho (X)-a} $ ;
- 單調性：對於所有投資組合 X 和 Y 使得 $ {\displaystyle X\geq Y} $ , $ {\displaystyle \rho (X)\leq \rho (Y)} $ ;
- 子可加性：對於所有投資組合 X 和 Y， $ {\displaystyle \rho (X+Y)\leq \rho (X)+\rho (Y)} $ ;
- 定律不變性：對於所有具有累積分佈函式的投資組合 X 和 Y $ {\displaystyle F_{X}} $ 和 $ {\displaystyle > F_{Y}} $ 分別，如果 $ {\displaystyle F_{X}=F_{Y}} $ 然後 $ {\displaystyle \rho (X)=\rho (Y)} $ ;
- 單調可加性：對於每個單調隨機變數 X 和 Y， $ {\displaystyle \rho (X+Y)=\rho (X)+\rho (Y)} $ . 注意 X 和 Y 是同調的，如果對於每個 $ {\displaystyle \omega _{1},\omega > _{2}\in \Omega :;(X(\omega _{2})-X(\omega _{1}))(Y(\omega _{2})-Y(\omega _{1}))\geq 0} $
據我所知，我認為譜風險度量是在 CVaR（VaR 的加權平均值）的基礎上，在連貫風險度量的框架內發展起來的一種新型度量。
如果您可以證明風險度量是連貫的，那麼您可以添加任何類型的加權函式 $ \phi $ 使其成為光譜風險度量。基本思想是任何數量的連貫措施的總和也是一個連貫的風險措施。