預期效用和日誌日誌log
我剛剛開始閱讀有關預期實用程序和實用程序功能的內容，並且有以下問題。
$ \textbf{Question:} $ 投資者的初始財富為 100，效用函式為：
$$ \begin{align} U(w) = \log(w) \end{align} $$ 他們的預期效用是什麼？ $$ \begin{align} \end{align} $$ 在我在網上找到的一張幻燈片上，它說明了以下內容：
$ \textbf{Calculating Expected Utility} $
1.當選擇變數 $ x $ 是常數，那麼 $ E(U(x)) = U(x) $ .
2.當選擇變數 $ x $ 是一個隨機變數，那麼 $ E(U(x)) $ 由 PDF 驅動 $ x $ .
- 如果 $ x $ 擁有 $ k $ 結果，每個都有機率 $ p_k $ ， 然後
$$ \begin{align} E(U(x)) = \sum_{1}^{k} p_i U(x_i) \end{align} $$ 既然我被告知初始財富是 100，這是否僅僅意味著預期效用是 $ E(U(100)) = \log(100) $ ?
抱歉，如果這是微不足道的-我才剛剛開始。
感謝所有幫助。
約翰
這是一個奇怪的問題。通常關於預期效用的問題涉及投資者未來財富的一些不確定性。如果結果沒有不確定性，並且投資者沒有做任何可能改變他或她未來財富的事情，那麼效用的期望就是一個常數，即 $ E[U(w)] = U(w) $ .
我假設獲得金額的機率 $ x $ 是 $ p $ . 那麼損失金額的機率 $ y $ 是 $ 1-p $ .
$ E[U(W)]=pU(100+x)+(1-p)U(100-y) $
$ =p\log{(100+x)}+(1-p)\log{(100-y)} $
$ =p\log{(\frac{100+x}{100-y})}-\log{(100-y)} $
它應該類似於那樣的東西。我只是給你一個概述，因為我認為你的問題中缺少很多細節，沒關係，因為你是新手，正如你所說。
為了開始這樣的問題，你需要一張桌子
$$ \begin{array}{c|lcr} probabilty & \text{Gain} & \text{$W_0+x$} & \text{$U(W_0+x)$} \ \hline p & x & 100+x & \log({100+x}) \ 1-p & -y & 100-y & \log({100-y}) \ \end{array} $$ 根據問題，您的表格可能包含更多機率，但機率之和必須等於 $ 1 $ .