如何顯示此風險函式的凸性？

我有以下風險函式：

$ \mathbf{Risk}(x):=\mathbb{E}[R(x)]+\delta\mathbb{E}[|R(x)-\mathbb{E}[R(x)]|] $

在哪裡 $ R(x) $ 是投資組合回報和 $ \delta $ 是任何正標量。我的教科書假設這個函式是凸的，但沒有證明。有什麼想法可以證明它是凸的嗎？

自從 $ R(x) $ 是線性的 $ x $ ，我們只需要證明 $ \mathbb{E}(x) + \delta \mathbb{E}(\mathbb{|x-\mathbb{E}(x)|}) $ 是凸的。現在 $ \mathbb{E}(x) $ 是線性的並且 $ \delta $ 是一個正常數，所以我們只需要證明 $ f(x):=\mathbb{E}(|x-\mathbb{E}(x)|) $ 是凸的 $ x $ . 那麼通過定義就可以直接證明：對於 $ 0\leq t <1 $ ,

$ f(tx+(1-t)y) = \mathbb{E}(|tx + (1-t)y -\mathbb{E}(tx + (1-t)y)|) = \mathbb{E}(|t(x-\mathbb{E}(x)) + (1-t)(y-\mathbb{E}(y))|) \leq \mathbb{E}(|t(x-\mathbb{E}(x))| + |((1-t)(y-\mathbb{E}(y))|) = tf(x) + (1-t)f(y) $ ,

如預期的。使用的不等式就是三角不等式。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/69905