我們怎麼知道剩餘收益與市場收益不相關
我在讀到，如果我們知道投資組合 beta，我們可以將該投資組合的超額收益分解為市場成分和剩餘成分。
r_p = beta_p * r_m + e_p r_p - portfolio excess return r_m - market return e_p - residual return beta_p - portfolio beta然後繼續這麼說，剩餘收益（e_p）將與市場收益（r_m）不相關，因此投資組合的變異數為
var_p = beta_p^2 * var_m + var_p_residual var_p - variance of portfolio beta_p^2 - beta of portfolio squared var_m - variance of market var_p_residual - variance of portfolio residual所以我的問題是我們怎麼知道剩餘收益與市場收益不相關？
我發現這個網頁靠近頂部有一個標題為“關鍵假設”的部分。
例如，考慮剩餘收益與因子 1 相關的情況。通過適當調整因子暴露 (bi1)，可以使剩餘收益與因子的相關性為零。
我不確定這是否與我的問題有關，但我仍然不關注它
為簡單起見，讓我們忽略無風險利率。如果您有（歷史的或模擬的）回報系列 $ r_i $ 對於投資組合和 $ r_i^M $ 對於市場，則 beta 是 OLS 回歸 beta：
$$ \beta = cov(r_i,r_i^M)/var(r_i^M). $$ 那麼如果你寫 $ r_i = \alpha + \beta r_i^M + \epsilon_i $ 另一方面
$$ \epsilon_i = r_i - ( \alpha + \beta r_i^M). $$ 那麼這些誤差與市場的共變異數如下： $$ cov(\epsilon_i, r_i^M) = cov(r_i - ( \alpha + \beta r_i^M),r_i^M) $$ 並作為 $ cov(\alpha,r_i^M) = 0 $ ( $ \alpha $ 是一個常數）我們得到 $$ cov(r_i - ( \alpha + \beta r_i^M),r_i^M) = \ cov(r_i,r_i^M) - \beta cov(r_i^M,r_i^M) = cov(r_i,r_i^M) - cov(r_i,r_i^M)/var(r_i^M) * var(r_i^M) =0, $$ 作為 $ cov(r_i^M,r_i^M) = var(r_i^M) $ . 在幾何意義上，Beta 告訴您市場所跨越的空間的投影。殘差在構造上是正交的。