如何計算 CVaR 的失真函式？
誰能給我一些關於如何證明的提示
$$ g(x) = \begin{cases} \frac{x}{1-\alpha}, &0 \leq x \leq 1-\alpha\ 1 , &1-\alpha \leq x \leq 1 \end{cases} $$ 是對應的失真函式 $ \text{CVaR}_\alpha(X) $ ?
這裡我定義
$$ \text{CVaR}\alpha(X) = \frac{1}{\alpha} \int{0}^{\alpha} F_X^{-1}(u) du $$有關更多詳細資訊，請參閱預期不足 - 維基百科。當然，逆應該被理解為廣義逆。 我的問題是直接計算似乎對我不起作用。也許我錯過了一些技巧。
任何幫助，將不勝感激。
我自己解決了。關鍵是要意識到 $ X \geq 0 $ 和 $ S_X(t) = \mathbb{P}(X>t) $
$$ \int_0^\infty S(t) dt = \int_0^1 F_X^{-1}(u) du = \mathbb{E}\left[X \right]. $$ 這在Characterization of $ \mathbb{E} $ .
現在這種關係可以擴展到整條實線，因此
$$ \int_0^1 F_X^{-1}(u) du = \int_0^\infty S_X(t) dt + \int_{-\infty}^0 S_X(t) -1 dt $$. 證明的其餘部分是改變指標函式中的變數並考慮 (a) 的兩種情況 $ S_X(t) \geq 1-\alpha $ (b) $ S_X(t) \leq 1-\alpha $ .
對於直接計算@CaffeRistretto tipp 非常有幫助。所以最好從 CVaR 的定義開始，向失真函式方向努力。