超額回報的解釋
如何定義給定資產的超額收益？
用於計算alpha和beta的超額收益共有兩種不同的定義，我無法理解我們應該應用哪一種來生成有效的統計因子。
定義1：由股票收益率與風險資產（如國庫券）的差值給出，或 $ ER^{(1)} = R_i - R_f $
定義2：由相同風險或相同風險的股票收益率與市場指數收益率之差給出 $ ER^{(2)} = R_i - R_M $
儘管標準慣例是談論風險溢價，但它們都是超額收益 $ R_{t+1}-R^f $ 和市場上的超額回報 $ R_{t+1}-R_M $ . 如果您相信 CAPM，那麼您需要前者來計算：
$$ \alpha= (\bar{R}-R_f) - \beta(\bar{R}M-R_f) $$ 根據定義，超額收益是今天價格為零的投資組合的回報，即如果您今天購買資產 i，您支付 1美元即可獲得 $ R{t+1}^i $ 明天，資產 j 也是如此。在 i 中做多 1 $並在 j中做空 1 $我們今天得到 1 $ -1 $ =0 和明天 $ R^i_{t+1}-R^j_{t+1} $ .
對於任何退貨 $ R_i $ 和 $ R_j $ ，我們稱之為差異 $ R_i - R_j $ 超額回報。任何兩個回報之間的差額都是超額回報。超額回報是零成本投資組合的回報（因為你同樣多頭和空頭）。
特別是，使用超過無風險利率的回報是很常見的：
$$ R^e_i = R_i - R_f $$
超額收益的數學便利性
超額收益通常在數學上比正常收益更方便/更優雅，因為超額收益的空間是一個向量空間，因此將超額收益加在一起或縮放它們仍然會給您帶來超額收益。
讓 $ R^e_1 $ 和 $ R^e_2 $ 成為超額收益。讓 $ a $ 和 $ b $ 是標量。然後：
- $ a R^e_1 $ 是超額收益（標量乘法下的閉包）
- $ R^e_1 + R^e_2 $ 是超額收益（加法下關閉）
區別 $ R_{\mathrm{Apple}}-R_f $ 是超額回報。乘以標量 $ 2 $ 你得到 $ 2R_{\mathrm{Apple}}-2R_f $ 這也是超額回報。