違約的邊際機率與違約的條件機率相同嗎？
我被違約的邊際機率這個詞嚇到了。我已經看到一些作者將它定義為違約條件機率的同義詞
**違約機率：**在沒有違約的情況下違約的機率。
這是這樣解決的：
$PD_{條件} = \frac{P(default_anytime_before_period_t1) - P(default_in_period_t0)}{1-P(default_in_period_t0)}$
我還看到它定義為：
預設時間密度函式或邊際預設機率是預設時間分佈 wrt t 的導數：
$\frac{\partial}{\partial t}P[t^*<t]=F’(t) = \lambda e^{-\lambda t}$
在哪裡
$t^*$ 是預設時間
$t$ 是我們觀察的時間點
$\lambda$ 是危險率
$F(t)$ = 累積預設時間分佈 = $P[t^* <t] = 1-e^{-\lambda}$
題
這是否意味著 $\lambda e^{-\lambda t}$ 是違約條件機率的近似值？
根據您的定義，它們肯定不一樣。一般而言，邊際違約機率是在給定時間段內違約發生的機率，如$[t, t+\Delta]$，即$P(t <\tau\le t+\Delta)$。這裡，$\tau$ 是預設時間。有關定義，請參見交易對手信用風險和信用價值調整一書的第 10 章。注意 \begin{align*} P(t < \tau \le t+\Delta) &=P(\tau \le t+\Delta) - P(\tau \let) \ &\approx \Delta \frac {\partial P(\tau \le t)}{\partial t}。\end{align*} 然後，人們將一小段時間內的邊際違約機率視為密度 $\frac{\partial P(\tau \le t)}{\partial t}$。
然而，條件預設機率由 \begin{align*} P(\tau \le t_1 \mid \tau > t) &= \frac{P\big((\tau \le t_1) \cap (\tau >t)\big) }{P(\tau >t)}\ &=\frac{P(\tau \le t_1) - P(\tau \le t) }{1-P(\tau \le t)}, \end{align*} for $t_1 > t \ge 0$。
令 $t_1 = t + \Delta$，因為 $\Delta$ 足夠小。然後 \begin{align*} \frac{1}{\Delta} P(\tau \le t + \Delta \mid \tau > t) &= \frac{P(\tau \le t + \Delta) - P(\tau \le t) }{\Delta \big (1-P(\tau \le t)\big)}\ &\approx \frac{1}{1-P(\tau \le t) } \frac{\partial P(\tau \le t)}{\partial t}\ &=-\frac{\partial \ln \big[1-P(\tau \le t)\big]}{ \partial t}\ &=\lambda。\end{align*} 實際上，危險率正式定義為 \begin{align*} \lambda = \lim_{\Delta \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta} P(\tau \let + \Delta \mid \tau > t)。\結束{對齊*}
在文獻中，這些術語可能被濫用。然後，我們需要注意具體的定義。