聯合違約機率

有幾個問題來自 Jorion 的 FRM 書（第 5 版，第 438 頁，表 18.2 如下所示）。這本書有一個非常程式化的例子，如下表所示。該範例顯示瞭如何計算共同違約的機率。一旦計算出來，所有其他機率都可以使用單獨的邊際機率來計算（例如，P（A 違約，但 B 沒有）= A 違約的邊際機率減去違約的聯合機率。

問題：

1. 邊際分佈是否必須相同？當我使邊際違約機率不相等時，我得到一個負的違約機率（機率 A 違約，但 B 沒有）。那麼我們需要對聯合 PDF 施加什麼樣的約束才能使其可行呢？或者，如果我指定一組邊際機率（比如事件 A 違約）和相關性，我將如何計算 B 的其餘邊際分佈 - 這可能嗎？
2. 是否可以直接計算 P（A 預設值，但 B 沒有）？我確實嘗試過….但答案與表中的計算無關。

希望能提供一些關於在哪裡尋找與此相關的材料的指導……Google搜尋會列印出比我正在尋找的東西更先進的東西。謝謝！

謝謝

!Jorion - FRM 第 5 版，第 438 頁] 1

（我不太明白你的問題到底在哪裡，但我在下面插入了一些可能有用的陳述。）

Jorion 的表格顯示： $$ \begin{bmatrix} P(A\cap B) & P(A\cap B^c) & : & P(A)\ P(A^c\cap B) & P(A^c\cap B^c) & : & P(A^c)\ .. & .. & & \ P(B) & P(B^c) & & \end{bmatrix} $$

四個事件相交的機率總和為 $ 1 $ .

(Q2)

給定 $ P(A) $ 和 $ P(A\cap B) $ ,

$$ P(A\cap B^c) = P(A) - P(A\cap B). $$

給定 $ P(B) $ 和 $ P(A|B^c) $ ，通過貝氏，

$$ P(A\cap B^c) = P(A|B^c)(1-P(B)) $$

類似的連接： $$ P(A|B^c) = \frac{P(A\cap B^c)}{P(B^c)} = \frac{P(A)- P(A\cap B)}{1-P(B)} $$ $$ \stackrel{Bayes}{=} \frac{P(A)- P(A| B)P(B)}{1-P(B)} $$ $$ \stackrel{(alt)Bayes}{=} \frac{P(A)- P(B| A)P(A)}{1-P(B)} =P(A)\frac{1- P(B|A)}{1-P(B)} $$

(Q1)

給定

$$ \rho = \frac{P(A\cap B) - P(A)P(B)}{\sqrt{P(A)(1-P(A))P(B)(1-P(B))}} $$

和 $ P(A) $ 和 $ P(A\cap B) $ ，我們可以計算 $ P(B) $ . 此外，我們注意到：

$$ P(A\cap B) = P(A)P(B) + \rho \sqrt{P(A)(1-P(A))P(B)(1-P(B))}, $$

$$ P(A|B) = P(A) +\rho \sqrt{\frac{P(A)}{P(B)}(1-P(A))(1-P(B))} $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/63491