因子結構下的邊際風險貢獻
給定以下具有K 個因子的因子結構， N個資產的回報由下式給出（在矩陣符號下）：
$ R =\alpha + \beta F + \epsilon $
在哪裡 $ F $ 是K因子回報的矩陣，並且 $ \beta $ 是NxK因子載荷的矩陣，並且 $ \epsilon \sim N(0,\Omega) $ . 具有權重向量的這N個股票的投資組合的回報 $ w $ 可以寫成：
$ Ptf = wR = w\alpha + wBF + w\epsilon $
取期望和變異數產生：
$ E[Ptf] = w\alpha + w \beta E[F] $
$ V[Ptf] = (w\beta)\Sigma (w \beta)^T + w\Omega w^T $
在哪裡 $ \Sigma $ 是因子的共變異數矩陣，並且 $ \Omega $ 是特定風險成分的對角共變異數矩陣。
由此可見，投資組合的標準差為： $ \sigma_{ptf}=\sqrt{V[Ptf]} $
我對邊際風險貢獻感興趣 $ MRC $ 的股票，也是投資組合的因素。我的推導 $ MRC $ 我通過推廣無因子結構的常見情況得到如下：
$ MRC = \partial \sigma_{ptf} /\partial w = (w\beta\Sigma \beta^T + w\Omega)/\sigma_{ptf} $
我計算時出現問題 $ MRC $ 使用上面的等式。事實上，當我使用權重重新組合風險時，我發現它並不等於投資組合風險。任何幫助表示讚賞。我將很快上傳範常式式碼。
讓 $ \mathbf{w} $ 表示 $ N\times 1 $ 投資組合權重向量， $ B $ 這 $ N\times K $ 因子載入矩陣， $ \Sigma $ 這 $ K\times K $ 因子共變異數矩陣和 $ \Omega $ 這 $ N\times N $ 特殊風險的對角矩陣。
然後 $ N\times N $ 資產變異數矩陣是
$$ \Sigma_N=B\Sigma B^T+\Omega $$ 投資組合變異數為 $$ \sigma_p^2=\mathbf{w}^T\Sigma_N\mathbf{w}=\mathbf{w}^TB\Sigma B^T\mathbf{w}+\mathbf{w}^T\Omega \mathbf{w} $$
MRC 向量，定義為 $ \mathbf{v}=\partial \sigma_p/\partial \mathbf{w} $ 是：
$$ \mathbf{v}\equiv\frac{\partial \sigma_p}{\partial \mathbf{w}}=\frac{B\Sigma B^T\mathbf{w}+\Omega \mathbf{w}}{\sigma_p} $$
顯然，如果你現在計算 $ \mathbf{w}^T\mathbf{v} $ , 你得到 $ \sigma_p $ ，投資組合風險。