超時時間的最佳選擇
假設您持有公司的股份 $ Z $ 當時的價值 $ t $ 是 $ S_0+\sigma B_t $ 在哪裡 $ B_t $ 是布朗運動和 $ \sigma $ 表示一些波動性。現在讓我們假設該公司 $ Z $ 可能會在某個指數分佈的隨機變數處破產 $ T $ 平均 $ 1/\lambda $ . 現在您計劃在第一時間出售您的股份 $ H $ 價格超過 $ a $ ， IE $ H=\inf{t: S_0+\sigma B_t>a} $ . 如果 $ H<T $ 對你的價值是 $ a\exp(-rH) $ ，否則一文不值。
你知道我如何得出最佳選擇嗎？ $ a $ ?
我解決這個練習的直覺方法是首先檢查 $ H<T $ ， IE $ P(H<T) $ 現在我想我可以使用反射原理，所以我定義 $ S_t=\sup (S_0+\sigma B_t) $ ，則該原理指出 $ P(S_T>a)=P(H<T) $ . 我認為解決問題的方法是找到最大值 $ a $ 這樣 $ P(S_T>a) $ ，但我不知道如何計算 $ P(S_T>a) $ .
自從我做這些東西以來已經有一段時間了，但我會添加我的輸入。如果合適，請糾正我。
$ {H < T} = { \sup_{0\leq s \leq T} (S_{0} + \sigma B_{s}) > a } = {\sup_{0 \leq s \leq T} B_s > \frac{a-S_0}{\sigma}} $ .
放 $ \mu := \frac{a-S_0}{\sigma} $ 和 $ M_{T} := \sup_{0 \leq s \leq T} B_{s} $ .
然後， $ P({H < T} = P({M_T > \mu }) = 2\left(1 - \Phi\left(\frac{\mu}{\sqrt{T}}\right)\right) $ .
尋求最大化 $ V(a) := E{ae^{-rH}1_{{H < T}}} = a \int_{0}^{\infty}\lambda e^{-\lambda x} \int_{0}^{x}e^{-ry} \frac{d}{d\xi}\left(2 \Phi\left(\frac{\mu}{\sqrt{\xi}}\right)-1\right)(y) , dy , dx $ .