參數/分析 VaR
假設我想用均值計算已知分佈的 VaR $ \mu $ , 變異數 $ \sigma^2 $ 和 $ \alpha $ -分位數為， $ VaR_{\alpha} $ = $ \mu + \sigma q_{\alpha} $ .
對於高斯分佈，很明顯 $ q_{\alpha}=z_{\alpha} $ 在哪裡 $ z_{\alpha} $ 是個 $ \alpha $ -標準正態分佈的分位數 $ \mu,\sigma $ 成為時刻。
現在我有兩個問題
- 對於學生 t 分佈的收益，可以有兩種方法來計算 VaR。首先，使用student-t和標準t分位數的矩定義。這給出了 VaR 的無偏估計。其次，使用標準正態分佈的student-t和分位數的矩定義。這是對 VaR 的有偏估計。人們如何理解使用了哪種 VaR 對 VaR 的大多數非正常定義在這個意義上是鬆散的定義。
- 對於使用位置和尺度定義的參數分佈，例如 Azzalini 的 skew-t，其中均值和標準差與位置和尺度不同，VaR 可以有三種定義。首先，使用 skew-t 和標準 skew-t 分位數的矩定義。這給出了 VaR 的有偏估計。其次，使用標準正態分佈的 skew-t 和分位數的矩定義。這是對 VaR 的有偏估計。第三，使用位置、規模和標準 skew-t 分位數定義 VaR。這給出了一個無偏估計。如何命名和區分這三種情況以避免任何歧義。
一般來說，定義 VaR 的挑戰是使用哪些時刻以及應該使用哪個分位數。是否有任何參考資料詳細說明了將參數 VaR 用於非正態分佈
對於任何連續分佈，我們可以定義
$$ VaR_{\alpha}=-F^{-1}(1-\alpha) $$ 在哪裡 $ F^{-1} $ 是 CDF 的倒數。現在假設您有一個來自具有位置參數的位置尺度族的分佈 $ \mu $ 和尺度參數 $ \sigma $ 然後 $$ F^{-1}(1-\alpha)=\mu+\sigma \phi^{-1}(1-\alpha) $$ 在哪裡 $ \phi^{-1} $ 是分佈的逆 CDF $ \mu=0 $ 和 $ \sigma=1 $ . 因此我們有 $$ VaR_{\alpha}=-(\mu+\sigma \phi^{-1}(1-\alpha)) $$ 對於任何位置規模的分佈。特別是對於學生-t $$ VaR_{\alpha}=-(\mu+\sigma ;t_v^{-1}(1-\alpha)) $$ 在哪裡 $ t_v^{-1} $ 是標準 student-t 的逆 CDF，其中 $ v $ 自由程度。
使用的分位數是使用者的選擇（例如 99%、95%），要使用的矩將取決於分佈，因為分佈可以通過它的矩參數化。
回答您的第一個問題：始終為任何分佈定義風險價值，因為它的機率回報不會超過某個門檻值（例如，95% 的時間損失不會超過 X）。
對於您的第二個，只需說明您從哪個分佈採樣，並根據這些分佈計算分位數（例如 R 中的 qbeta/qnorm/qwhatever）。請參閱http://www.inside-r.org/packages/cran/PerformanceAnalytics/docs/VaR了解在 R 中計算 VaR 的各種方法（非常簡單！）。
對於您的一般問題：
不是簡單的解決方案是：
a) 選擇一個選擇分佈，估計所需矩併計算 VaR
b) 使用各種分佈計算擬合收益，並選擇最適合的一個，然後計算 VaR
c) 模擬數據生成過程並執行 N 次試驗並使用它計算 VaR