關於指數加權移動平均模型有效天數的問題
我一直在閱讀Longerstaey（摩根大通）和 Spencer（路透社）（1996 年第 4 版）的《 RiskMetrics — 技術文件》一書。我想知道如果我使用 2 天百分比變化，本書中提到的指數加權移動平均模型 (EWMA) 的有效天數將是多少，如下所述。
在這本書的第 93-95 頁上，指出 $ K $ ，EWMA 的有效天數，可以通過以下方式計算：$$ K = \frac{\log(\alpha)}{\log(\lambda)}. $$
例如，如果一個人對一個置信水平感興趣 $ \alpha=1% $ 和 $ \lambda=0.99 $ , $ K $ 如第 94 頁的表格所示，結果為 458 天。
在第 93 頁上，還指出上述公式為 $ K $ 如果求解以下方程得到什麼 $ K $ ：
$$ \lambda^{K}(1-\lambda)(1+\lambda+\lambda^2+\dots)=\alpha. $$
我已經證明了這一點：
$$ \begin{align*} \lambda^{K}(1-\lambda)(1+\lambda+\lambda^2+\dots)&=\alpha \ \lambda^{K}&=\frac{ \alpha}{(1-\lambda)(1+\lambda+\lambda^2+\dots)} \ \log( \lambda^{K})&=\log\left(\frac{ \alpha}{(1-\lambda)(1+\lambda+\lambda^2+\dots)} \right) \end{align*} $$
因為 $ 1+\lambda+\lambda^2+\dots $ 是一個幾何級數並且 $ |\lambda|<1 $ ，它收斂到 $ \frac{1}{1-\lambda} $ . 然後，
$$ \begin{align*} K\log( \lambda) &= \log\left(\frac{ \alpha}{(1-\lambda)(\frac{1}{1-\lambda})} \right)\ K\log( \lambda) &= \log(\alpha)\ K &= \frac{\log(\alpha)}{\log( \lambda)}. \ \end{align*} $$
我的問題是：
- 如果我使用 2 天的百分比變化會發生什麼，例如 $ r_{t} = \frac{y_{t-2}}{y_t}-1 $ ?
- 和 $ r_{t} $ 如上定義，有效天數將如何變化，例如， $ \lambda=0.99 $ 和 $ \alpha=1% $ ? 或者它會在 458 處保持不變，為什麼？
EWMA 是一種加權方案。計算 EWMA $ Z $ 一些輸入信號 $ X $ ，EWMA定義為：
$$ Z_t\equiv (1-\lambda)\sum_{t=1}^T \lambda^{t-1}X_t $$
仔細觀察，我們發現，通常， $ T<<\infty $ ，因此權重之和不等於 1：
$$ (1-\lambda)\sum_{t=1}^T\lambda^{t-1}=(1-\lambda)\frac{1-\lambda^T}{1-\lambda}=1-\lambda^T<1 $$
如果你只是更換領先的 $ 1-\lambda $ 和 $ \frac{1-\lambda}{1-\lambda^T} $ ，就不需要“容忍水平”。它與置信水平無關（在統計意義上）。
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HTH？