部分投資組合的風險貢獻
如果我在投資組合中有資產 $x、y、$ 和 $z$，並且投資組合的總變異數定義為
$ \ sigma_p ^ 2 = w_x ^ 2 \ sigma_x ^ 2 + w_y ^ 2 \ sigma_y ^ 2 + w_y ^ 2w \ sigma_y ^ 2 + 2w_xw_y \ sigma_ {xy} + 2w_yw_z \ sigma_ {yz} + 2w_xw_z \ $sigma_ {xz
每個單獨資產的單獨風險貢獻為：
${\sigma_p}x^2 = w_x^2\sigma_x^2 + \sigma{xy} + \sigma_{xz}$
${\sigma_p}y^2 = w_y^2\sigma_y^2 + \sigma{xy} + \sigma_{yz}$
$ {\ sigma_p} z ^ 2 = w_z ^ 2 \ sigma_z ^ 2 + \ sigma {xz} + \ sigma_ {yz} $
假設投資組合的風險是每種資產相對於其他資產的風險之和，在數學上是否合理？還是投資組合風險不能以定義的方式分解？
這取決於。我不認為有任何“正確”的方法可以將風險分配給投資組合中的資產，儘管有幾種“好的”方法可以做到這一點。我偏愛的一個是歐拉方法，它基本上定義了資產對投資組合的風險貢獻是投資組合相對於資產變化的導數，如Tasche 的論文中所述。在變異數的情況下，這將成為一個相當簡單的計算。順便說一句，您的投資組合變異數計算中有一些拼寫錯誤。
將投資組合的風險定義為其變異數 $$ \sigma_p^2 = \sum_{ij}w_i\sigma_{ij}w_j $$ 其中 $w_i$ 是資產 $i$ 和 $\sigma_{ 的投資組合權重ij}$ 是資產 $i$ 和 $j$ 之間的共變異數。資產$k$對投資組合變異數的風險貢獻為$$ \sigma_{pk}^2 = \frac{w_k}{2}\frac{\partial \sigma_p^2}{\partial w_k} = w_k\sum_j \sigma_{kj}w_j $$ 其中我們使用了 $\sigma_{ij} = \sigma_{ji}$ 這個事實。注意$\sigma_{kk} = \sigma_k^2$。很容易看出，個人風險貢獻的總和加起來就是投資組合變異數 $$ \sum_k \sigma_{pk}^2 = \sum_{kj}w_k\sigma_{kj}w_j = \sigma_p^2 $ $