風險中性定價，一個簡單的問題
我是新手。
風險中性定價有以下公式：
$$ P=\frac{\hat{E(d)}}{R} $$,
但貼現期望值具有以下公式：
$$ P=\frac{E(d)}{R} $$.
課本上說 $ \hat{E}(.) $ 是對風險中性機率的期望。
風險中性機率究竟是什麼？
當您查看來自股票市場的實際數據時，您想到的以及描述未來發生不同情況的可能性的機率分佈就是我們所說的“物理”機率分佈。
直覺地說，風險中性機率分佈是解釋風險厭惡的物理機率分佈的“扭曲”版本。從本質上講，問題在於，如果您購買股票，與將錢存入銀行賬戶或從美國等國家購買政府債券相比，您將面臨更大的風險。股票的價格有可能在未來大幅下跌，但你不太可能將你存入銀行的錢放掉，美國政府也不太可能拖欠你的債券。一些人仍然購買股票的原因是他們預計過山車的平均回報會更高——這就是風險規避背後的想法：你需要通過給予他們更高的平均回報來補償人們承擔的額外風險。
風險中性機率只是說同一件事的一種非常方便的方式。與其看著現實世界並認為人們想要對風險進行補償，不如說人們傾向於誇大對他們不利的可能性，而**低估對他們有利的可能性。**在那個世界裡，他們不要求對風險進行補償——在一個他們可以扭曲機率的世界裡，他們是風險中性的投資者。風險中性機率之所以如此有用，是因為您可以將有關風險偏好的所有資訊匯總到您應用的度量變化中，以從物理機率轉移到風險中性機率。之後，您可以根據簡單的統計數據來考慮一切——您不再需要考慮偏好。
如果你想要這個想法的正式版本，我可以寫下一個消費模型，並向你展示如何將均衡模型中代表性投資者的歐拉方程（預期效用最大化的一階條件之一）重新安排為從中得到一個風險中性的分佈，但如果你不熟悉經濟理論，它不會對討論增加太多。
編輯
在市場經濟中要有一個有代表性的投資者。我們假設他生活了兩個時期（不用擔心，在無限視界模型中，我們會在這裡得到完全相同的解）並且他會收到隨機禀賦 $ e_t $ 在每個時期。他可以通過以 $ S_t $ 對於不確定的回報 $ x_{t+1} $ 在下一個時期。因此，他的期望效用最大化問題是 $$ \begin{align} \max_\xi \left{ u(c_t) + \beta E_t( u(c_{t+1}) \right} \ \text{s.t.} \begin{cases} c_t = e_t - \xi S_t \ c_{t+1} = e_{t+1} + \xi x_t \end{cases}. \end{align} $$
我們假設未來禀賦和收益過程的條件機率分佈使得條件期望存在，並且進一步假設瞬時效用函式 $ u: \mathbb{R_+} \rightarrow \mathbb{R} $ 是在非負實數線上兩次連續可微 $ u’(c) > 0, u’’(c) < 0 $ 對所有人 $ c \in \mathbb{R}+ $ 然後 $ \beta \in (0,1) $ . 在這些假設下，這個問題很好地提出了。如果我們進一步假設 Inada 條件 $ \lim{c \downarrow 0} u’(c) = \infty $ ，我們保證我們有一個必須滿足的內部解決方案 $$ \begin{align} 0 &= - u’(c_t) S_t + E_t \left( \beta u(c_{t+1} x_{t+1} \right) \ \leftrightarrow S_t &= E \left[ \beta \frac{u’(c_{t+1})}{u’(c_t)} x_{t+1} \bigg| F_t \right] \end{align} $$ 我強調了這樣一個事實，即我們正在以經濟的自然過濾為條件，即由下式給出的 sigma 代數 $ F_t $ . 這個方程就是我們經濟學家所說的歐拉方程。對於經濟中的每一種資產，在所有代表性代理模型中都有一個這樣的等式。現在，讓 $ m_{t+1} := \beta u’(c_{t+1})/u’(c_t) $ . 我們將把它稱為“隨機折扣因子”，因為它“折扣” $ x_{t+1} $ 世界不同國家的情況不同。具體來說，在這裡，您“不喜歡”與您的消費在同一時間與您的消費方向相同的東西，但您卻喜歡相反的東西（這將是一種保險）。
現在，風險中性措施。我們在經濟中引入了一種新資產，即債券 $ B_t $ . 該債券沒有風險，因此您可以獲得無風險利率 $ B_{t+1}/B_t = (1 + R_{ft}) $ . 這種安全性受上述等式的約束，因此 $$ \begin{align} B_t &= E_t \left( m_{t+1} B_{t+1} \right) \ 1 &= E_t \left( m_{t+1} (1 + R_{ft}) \right) \ \frac{1}{1 + R_{ft}} &= E_t(m_{t+1}) \ \frac{1}{1 + R_{ft}} &= \int_{\omega \in \Omega} m_{t+1}(\omega) dP(\omega) \end{align} $$ 在哪裡 $ \omega $ 是一個事件， $ \Omega $ 是樣本空間和 $ dP(\omega) := p(\omega | F_t) d\omega $ . 本質上，我只是應用了期望的定義。這裡， $ P $ 就是我們所說的機率測度。現在，我們將做一些代數： $$ \begin{align} S_t &= \int_{\omega \in \Omega} m_{t+1}(\omega) x_{t+1}(\omega) dP(\omega) \ &= \int_{\omega \in \Omega} \frac{1+R_{ft}}{1+R_{ft}} m_{t+1}(\omega) x_{t+1} (\omega) dP(\omega) \ &= \frac{1}{1+R_{ft}} \int_{\omega \in \Omega} x_{t+1}(\omega) m_{t+1}(\omega)(1+R_{ft}) dP(\omega) \ &= \frac{1}{1+R_{ft}} \int_{\omega \in \Omega} x_{t+1}(\omega) dQ(\omega) \ &:= \frac{1}{1+R_{ft}} E^Q \left[ x_{t+1} | F_t \right] \end{align} $$ 我基本上定義的地方 $ dQ := (1 + R_{ft}) m_{t+1} dP $ . 您可以將其寫為 Radon-Nikodym 的導數 $ Q $ 關於 $ P $ . 給定 $ u’(c) > 0 $ 和 $ \beta \in (0,1) $ , 你可以得出結論 $ m_{t+1} > 0 $ . 自從 $ P $ 是機率測度，它是非負的，因此 $ Q $ 也將是非負的。我還表明，在 $ P $ , $ m_{t+1}(1+R_{ft}) $ 必須積分為一，因為期望值 $ m_{t+1} $ 是 $ 1/(1+R_{ft}) $ . 因此， $ Q $ 總是非負的，總和必須為 1 - 即，它是一種機率度量，這就是為什麼您可以將此等式視為涉及“扭曲”期望的原因。