採用尾部風險度量的風險平價/同等風險貢獻
風險平價或（同義詞）等風險貢獻是一種投資組合建構方法，在理論上可以與廣泛的風險度量一起工作。然而，到目前為止，我發現的所有參考文獻幾乎都將標準差作為風險度量。很高興看到一些論文或參考文獻分析尾部風險度量的風險平價，例如預期短缺/條件風險價值/風險尾部價值，甚至可能是風險價值。
具體我想了解
- 在什麼條件下存在（獨特的）風險平價投資組合？
- 哪些數值優化算法是可行的？這些將如何擴展到幾百或幾千資產？
對於問題 1)，讓我們在討論中加入正同質性的話題：只要風險度量是正同質的，我們就可以計算風險貢獻。
風險度量在程度上是正同質的 $ \lambda $ ， 如果
$$ R(cx)= c^{\lambda} R(x),\quad \text{with}\ x \in \mathbb{R}^n $$ 如果那時， $ \lambda>0 $ ，這等價於歐拉關係（對於 $ R $ 可微）：
$$ \lambda \cdot R(x) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial R}{\partial x_i}(x) \cdot x_i. $$ 這意味著，我們可以將風險度量分解為其邊際風險貢獻 $ \frac{\partial R}{\partial x_i}(x) \cdot x_i $ . 因此，如果我們要計算風險貢獻，就必須滿足這一點。風險平價是所有這些都是相同值的情況。
因此，其中一個假設已經存在於定義中。在正常假設的情況下，VaR 和預期缺口滿足了這一要求。對於無分配模型，誰知道風險貢獻意味著什麼？
到目前為止一切順利，我們已經定義了一個風險平價投資組合，並且我們假設我們的風險度量是同質的。
讓我們也嘗試一次嘗試回答 2： 這篇論文是該主題的一個很好的資源。它著眼於以下問題 $ (\text{RC}_i(x) = \frac{\partial R } {\partial x_i} \cdot x_i) $ :
尋找 $ x $ 這樣
$$ \text{RC}i(x) = b_i R(x) \ b_i > 0 \ x_i > 0 \ \sum{i=1}^{n} b_i = 1 \ \sum_{i=1}^{n} x_i = 1 $$ 所以這些線意味著，風險貢獻應該滿足預算約束（對於風險平價， $ b_i = 1/N $ )，權重為正，所有權重和預算總和為 1。
提出的問題就在這裡（我對此有很好的經驗）：
$$ y^\ast = \text{argmin} R(y)\ \sum_{i=1}^n b_i\text{ln}y_i \geq c \ y \geq 0 $$ 對於任意常數 c。現在不滿足單位重量約束，但重新縮放後的解決方案是
$$ x^\ast = y^\ast / (\sum_{i=1}^n y_i^{\ast}). $$ 但是為什麼這個問題是一個風險平價問題呢？
拉格朗日是
$$ L(y;\lambda) = R(y) - \lambda \sum_{i=1}^{n} b_i \text{ln} y_i $$ 和最優的一階條件 $ \frac{\partial L}{\partial y_i} = 0 $ 產量：
$$ \frac{\partial L}{\partial y_i} = \frac{\partial R}{\partial y_i}(y) - \frac{b_i}{y_i} = 0. $$ 但這正是預算約束。
這是一個非常可擴展的優化問題，但它不是線性的，所以你必須小心。我認為它會很好地處理幾個變數，也許 100 左右會有點棘手，但我沒有明確地嘗試過。