使用正態分佈預測主動收益

我想要關於如何通過標準正態分佈預測主動回報的建議，

該資產是一種年波動率為 6% 的證券。基準是 5% 的年回報率和 0% 的波動率（基本上是一條直線）

如果沒有基準，我只會使用年度波動率並聲明一年多，這種證券有 15.8% 的機會返回 <-6%。

但是我將如何使用具有 0% 波動率的基準來解決這個問題。

我希望能夠聲明：這種證券有 15.8% 的可能性會低於基準 X%。1 標准在積極回報條件下是什麼？-1%？

如果您的基準的波動性為零並且回報率為 5%，那麼對於 1.0 的基準投資 1 年後，它保證價值 1.05，或者

$$ X_b = 1.05 $$ 另一方面，您的第二筆投資需要有預期回報，您的計算假設平均值為 0%，vol 為 6%，因此 1Y 的值由下式給出

$$ X \sim \mathcal{N}(1.00, 0.06) ;, $$這就是為什麼你有 15.8% 的機會投資價值低於 0.94。 如果你想看看表現出色， $ Y $ ， 然後：

$$ Y = X - X_b \sim \mathcal{N}(-0.05, 0.06) $$ 的機率 $ Y $ 小於零，（即表現不佳）基準是

$$ P(Y<0) = \Phi(0) = 79.8% $$，這很有意義，因為您的投資預期遠低於非易失性基準。 如果你想有 15.8% 的機會 $ X $ 表現不佳 $ X_b $ 那麼你必須假設 $ X $ 取自 $ X \sim \mathcal{N}(1.05,0.06) $ ，即第二次投資的預期回報與基準相同，因此 $ Y \sim \mathcal{N}(0,0.06) $ .

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/40045