風險
消費者願意為參加這場賭博支付的最大金額是多少？
假設消費者對財富有對數效用，定義為 $ u(W) = \ln(W) $ . 假設這個消費者有 $ 100 $ ，並且正在考慮進行一場賭博，消費者擲硬幣，得到 $ 20 $ 她轉過頭來 $ 0 $ 如果她翻轉尾巴。消費者願意為參加這場賭博支付的最大金額是多少？如果消費者有 $ 1, 000 $ 美元的財富？
我覺得這個問題是不完整的，因為我們不知道這個人需要付出多少才能玩遊戲。我們知道這些資訊是為了解決這個問題嗎？
如果沒有，誰能告訴我解決這個問題所需的方向和資訊？
這是一個基本的實用練習。我猜想你在解決這個練習時缺少的額外假設是玩家願意接受公平的遊戲，但不會更糟。
為了使這是一個公平的遊戲，進入遊戲可以支付的最大金額將導致預期的效用損失為零（沒有人會接受更糟糕的事情）。換句話說，預期效用必須與起始財富的效用相匹配 $ W_0 $ :
$$ \mathrm{E}[\ln(W)]=\ln(W_0) $$ 由於該遊戲只有兩個結果，您可以輕鬆地從可能結果樹中計算期望值
/ Head: 100 + 20 - entry fee / (50%) / 100 \ \ (50%) \ Tail: 100 + 0 - entry fee由此我們可以直接計算期望值：
$$ \mathrm{E}[\ln(W)] = 0.5\ln(120-x) + 0.5\ln(100-x)=\ln(100) $$ 結果約為 9.5（您可以在此處查看），如果您以 1000 的起始財富重複，則結果約為。9.9，因為富人不像窮人那麼在意損失幾塊錢。
如果沒有入場費，我不能在最壞的情況下賠錢，我贏了 0USD。